(2,0) Faça o que se pede:
Determine a abscissa do ponto em que a reta tangente à curva da função \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\frac{\boldsymbol{x}^{2}-45}{\boldsymbol{x}-7} é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede a abscissa do ponto em que a reta tangente à curva de
f(x)=\frac{x^{2}-45}{x-7}
é horizontal. Vamos usar derivação de quociente e a condição de tangente horizontal, que é
f'(x)=0.

Passo 2

Calculamos f'(x) pela regra do quociente. Primeiro escrevemos
f'(x)=\frac{\bigl(2x\bigr)\,(x-7)-\bigl(x^{2}-45\bigr)\,(1)}{(x-7)^{2}}.
Em seguida expandimos o numerador:
2x(x-7)-(x^{2}-45)=2x^{2}-14x -x^{2}+45 = x^{2}-14x+45.

Passo 3

Para que a tangente seja horizontal, basta resolver
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-14x+45=0.
O discriminante é
\Delta =(-14)^{2}-4\cdot1\cdot45=196-180=16,
logo
x=\frac{14\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{14\pm4}{2},
que dá x=9 ou x=5.

Passo 4

Verificamos o domínio de f: x\neq7. Como 5 e 9 não violam essa condição, ambos são abscissas válidas para tangentes horizontais.

Resposta

As abscissas onde a reta tangente à curva é horizontal são x=5 e x=9.

Exercícios relacionados