Considere a função
f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x<1 \\\\ 3, & x=1 \\\\ 2 x, & x>1\end{cases}
Determine se existe \lim _{x \rightarrow 1} f(x).
Solução. Para x \rightarrow 1^{-}, usamos a expressão x^{2} :
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} x^{2}=1
Para x \rightarrow 1^{+}, usamos a expressão 2 x :
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} 2 x=2
Como
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=1 \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=2
os limites laterais são diferentes. Portanto,
\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \text { não existe. }ã
O valor f(1)=3 não altera essa conclusão.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe \lim_{x\to1} f(x)\) para a função dada. As informações fornecidas são: \[f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x<1 \\\\ 3, & x=1 \\\\ 2x, & x>1\end{cases}
  • A função vale \,x^{2}\] para \(x<1.
  • A função vale \,3 exatamente em x=1.
  • A função vale \,2x para x>1.
    A pergunta é: existe um limite único quando x tende a 1 pela esquerda e pela direita (ou seja, existe \lim_{x\to1} f(x) )?

Passo 2

O que significa existir \lim_{x\to1} f(x)?
  • Por definição, o limite \lim_{x\to1} f(x) existe e é igual a algum número L se, e somente se, os dois limites laterais existirem e forem iguais a L. Ou seja:
\lim_{x\to1} f(x)\\ \text{existe} \iff \lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^+} f(x).
  • O limite à esquerda \lim_{x\to1^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 1 com x<1.
  • O limite à direita \lim_{x\to1^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 1 com x>1.
    Intuitivamente: se as duas tendências (pela esquerda e pela direita) se encontram no mesmo número, o limite existe e é esse número; caso contrário, não existe.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to1^-} f(x).
  • Para x<1 a função é dada por f(x)=x^{2}. Polinômios (como x^{2}) são funções contínuas em todo número real, o que significa que o limite ao aproximar-se de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim, para calcular o limite, basta substituir x=1 na expressão x^{2}.
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} x^{2}=1^{2}=1.
  • Exemplo paralelo (menor): \lim_{x\to2} x^{2}=2^{2}=4. Mesma ideia: continuidade permite substituir.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to1^+} f(x).
  • Para x>1 a função é f(x)=2x. Funções lineares 2x são contínuas em todo \mathbb{R}, então o limite ao aproximar-se de 1 é dado pela substituição x=1.
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} 2x=2\cdot 1=2.
  • Exemplo paralelo: \lim_{x\to3} 2x = 2\cdot 3 = 6.

Passo 5

Comparar os limites laterais e concluir.
  • Encontramos
\lim_{x\to1^-} f(x)=1\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to1^+} f(x)=2.
  • Como 1\neq 2, as duas tendências não se encontram. Pela condição do Passo 2, isso implica que o limite bilateral \lim_{x\to1} f(x) NÃO existe.

Passo 6

Observação sobre o valor f(1)=3.
  • O valor que a função tem exatamente no ponto x=1 (aqui f(1)=3) não altera a existência do limite: o limite é sobre o comportamento quando x se aproxima de 1, não sobre o valor no ponto.
  • Para que a função fosse contínua em x=1 seria preciso (i) o limite \lim_{x\to1} f(x) existir e (ii) esse limite ser igual a f(1). Aqui o limite nem sequer existe, então a função não é contínua em x=1.
  • Resumindo: mesmo se f(1) fosse 1 ou 2, o fato de as laterais serem diferentes significaria que o limite não existe; se ambas laterais fossem iguais a algum L e f(1)=L, aí sim haveria continuidade.

Resposta

Não existe.

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