\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \text { não existe. }ã
O valor f(1)=3 não altera essa conclusão.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existe \lim_{x\to1} f(x)\) para a função dada. As informações fornecidas são:
\[f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x<1 \\\\ 3, & x=1 \\\\ 2x, & x>1\end{cases}
A função vale \,x^{2}\] para \(x<1.
A função vale \,3 exatamente em x=1.
A função vale \,2x para x>1.
A pergunta é: existe um limite único quando x tende a 1 pela esquerda e pela direita (ou seja, existe \lim_{x\to1} f(x) )?
Passo 2
O que significa existir \lim_{x\to1} f(x)?
Por definição, o limite \lim_{x\to1} f(x) existe e é igual a algum número L se, e somente se, os dois limites laterais existirem e forem iguais a L. Ou seja:
O limite à esquerda \lim_{x\to1^-} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 1 com x<1.
O limite à direita \lim_{x\to1^+} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de 1 com x>1.
Intuitivamente: se as duas tendências (pela esquerda e pela direita) se encontram no mesmo número, o limite existe e é esse número; caso contrário, não existe.
Passo 3
Calcular \lim_{x\to1^-} f(x).
Para x<1 a função é dada por f(x)=x^{2}. Polinômios (como x^{2}) são funções contínuas em todo número real, o que significa que o limite ao aproximar-se de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim, para calcular o limite, basta substituir x=1 na expressão x^{2}.
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} x^{2}=1^{2}=1.
Exemplo paralelo (menor): \lim_{x\to2} x^{2}=2^{2}=4. Mesma ideia: continuidade permite substituir.
Passo 4
Calcular \lim_{x\to1^+} f(x).
Para x>1 a função é f(x)=2x. Funções lineares 2x são contínuas em todo \mathbb{R}, então o limite ao aproximar-se de 1 é dado pela substituição x=1.
Como 1\neq 2, as duas tendências não se encontram. Pela condição do Passo 2, isso implica que o limite bilateral \lim_{x\to1} f(x) NÃO existe.
Passo 6
Observação sobre o valor f(1)=3.
O valor que a função tem exatamente no ponto x=1 (aqui f(1)=3) não altera a existência do limite: o limite é sobre o comportamento quando x se aproxima de 1, não sobre o valor no ponto.
Para que a função fosse contínua em x=1 seria preciso (i) o limite \lim_{x\to1} f(x) existir e (ii) esse limite ser igual a f(1). Aqui o limite nem sequer existe, então a função não é contínua em x=1.
Resumindo: mesmo se f(1) fosse 1 ou 2, o fato de as laterais serem diferentes significaria que o limite não existe; se ambas laterais fossem iguais a algum L e f(1)=L, aí sim haveria continuidade.