A posição de uma partícula é dada por
. Calcule a velocidade média no intervalo
e interprete o limite quando
.
Solução. A velocidade média no intervalo
é
Calculamos:
Além disso,
Logo,
Quando
,
Portanto, a velocidade instantânea no instante
é
Esse exemplo mostra a ideia intuitiva de limite como valor aproximado por taxas médias em intervalos cada vez menores.
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula como
e pede duas coisas:
- Calcular a velocidade média no intervalo
. - Interpretar o limite dessa velocidade média quando
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função posição:
. - O intervalo de tempo considerado: de
até , com sendo um pequeno incremento de tempo (pode ser positivo ou negativo, mas aqui a fórmula da velocidade média usa no denominador).
Passo 2
Definição e ideia da velocidade média (aula rápida e prática).
- Velocidade média em um intervalo de tempo é a variação da posição dividida pela variação do tempo. Em símbolos:
- Aqui
e .
Portanto a velocidade média no intervalopode ser escrita como
Passo 3
Calcular
.
- Substitui
em :
Passo 4
Calcular
desenvolvendo o quadrado e simplificando (passo a passo).
- Substitui
em :
- Expandir
:
- Somando os termos de
obtemos
Passo 5
Formar a razão da velocidade média e simplificar cancelando
(mostrar detalhe algébrico).
- A velocidade média é
- Coloca
em evidência no numerador:
- Como
ao simplificarmos a expressão da velocidade média no intervalo (para a fórmula faz e não tem sentido), podemos cancelar :
- Conclusão: a velocidade média no intervalo
é .
Passo 6
Interpretar o limite quando
(ligando com velocidade instantânea e derivada).
- A velocidade instantânea em
é o limite das velocidades médias quando o intervalo de tempo encolhe até zero:
- Substituindo a expressão encontrada para a velocidade média:
- Interpretação física e matemática: ao fazermos intervalos de tempo cada vez menores ao redor de
, a taxa média de variação da posição tende para . Esse valor é a velocidade instantânea no instante .
Passo 7
Comentário didático extra (outra maneira de obter o mesmo resultado usando derivada).
- A definição geral da derivada de
em um tempo é
que dá a taxa de variação instantânea da posição (ou seja, a velocidade).
- Para
, pode-se usar a regra do poder para derivar termo a termo (razão rápida): a derivada de é e a derivada de é . Assim
- Avaliando em
:
confirmando o resultado do limite anterior.
Resposta
Velocidade média no intervalo
:
Limite quando (velocidade instantânea em
):
Limite quando