A posição de uma partícula é dada por s(t)=t^{2}+2 t. Calcule a velocidade média no intervalo [1,1+h] e interprete o limite quando h \rightarrow 0.
Solução. A velocidade média no intervalo [1,1+h] é
\frac{s(1+h)-s(1)}{(1+h)-1}=\frac{s(1+h)-s(1)}{h} .
Calculamos:
s(1)=1^{2}+2 \cdot 1=3 .
Além disso,
s(1+h)=(1+h)^{2}+2(1+h)=1+2 h+h^{2}+2+2 h=3+4 h+h^{2} .
Logo,
\frac{s(1+h)-s(1)}{h}=\frac{3+4 h+h^{2}-3}{h}=\frac{4 h+h^{2}}{h}=4+h .
Quando h \rightarrow 0,
\lim _{h \rightarrow 0}(4+h)=4
Portanto, a velocidade instantânea no instante t=1 é
4 .
Esse exemplo mostra a ideia intuitiva de limite como valor aproximado por taxas médias em intervalos cada vez menores.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula como s(t)=t^{2}+2t e pede duas coisas:
  • Calcular a velocidade média no intervalo [1,\,1+h].
  • Interpretar o limite dessa velocidade média quando h \rightarrow 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função posição: s(t)=t^{2}+2t.
  • O intervalo de tempo considerado: de t=1 até t=1+h, com h sendo um pequeno incremento de tempo (pode ser positivo ou negativo, mas aqui a fórmula da velocidade média usa h no denominador).

Passo 2

Definição e ideia da velocidade média (aula rápida e prática).
  • Velocidade média em um intervalo de tempo é a variação da posição dividida pela variação do tempo. Em símbolos:
\text{velocidade média}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(1+h)-s(1)}{(1+h)-1}.é
  • Aqui \Delta s=s(1+h)-s(1) e \Delta t=(1+h)-1=h.
    Portanto a velocidade média no intervalo [1,\,1+h] pode ser escrita como
\frac{s(1+h)-s(1)}{h}.

Passo 3

Calcular s(1).
  • Substitui t=1 em s(t)=t^{2}+2t:
s(1)=1^{2}+2\cdot1=1+2=3.

Passo 4

Calcular s(1+h) desenvolvendo o quadrado e simplificando (passo a passo).
  • Substitui t=1+h em s(t):
s(1+h)=(1+h)^{2}+2(1+h).
  • Expandir (1+h)^{2}:
(1+h)^{2}=1+2h+h^{2}.
  • Somando os termos de 2(1+h)=2+2h obtemos
s(1+h)=1+2h+h^{2}+2+2h=3+4h+h^{2}.

Passo 5

Formar a razão da velocidade média e simplificar cancelando h (mostrar detalhe algébrico).
  • A velocidade média é
\frac{s(1+h)-s(1)}{h}=\frac{(3+4h+h^{2})-3}{h}=\frac{4h+h^{2}}{h}.
  • Coloca h em evidência no numerador:
\frac{4h+h^{2}}{h}=\frac{h(4+h)}{h}.
  • Como h\neq0 ao simplificarmos a expressão da velocidade média no intervalo (para h=0 a fórmula faz 0/0 e não tem sentido), podemos cancelar h:
\frac{h(4+h)}{h}=4+h.
  • Conclusão: a velocidade média no intervalo [1,\,1+h] é \,4+h\,.

Passo 6

Interpretar o limite quando h \rightarrow 0 (ligando com velocidade instantânea e derivada).
  • A velocidade instantânea em t=1 é o limite das velocidades médias quando o intervalo de tempo encolhe até zero:
\text{velocidade instantânea em }t=1=\lim_{h\to0}\frac{s(1+h)-s(1)}{h}.â
  • Substituindo a expressão encontrada para a velocidade média:
\lim_{h\to0}(4+h)=4.
  • Interpretação física e matemática: ao fazermos intervalos de tempo cada vez menores ao redor de t=1, a taxa média de variação da posição tende para 4. Esse valor é a velocidade instantânea no instante t=1.

Passo 7

Comentário didático extra (outra maneira de obter o mesmo resultado usando derivada).
  • A definição geral da derivada de s em um tempo t é
s'(t)=\lim_{h\to0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h},
que dá a taxa de variação instantânea da posição (ou seja, a velocidade).
  • Para s(t)=t^{2}+2t, pode-se usar a regra do poder para derivar termo a termo (razão rápida): a derivada de t^{2} é 2t e a derivada de 2t é 2. Assim
s'(t)=2t+2.
  • Avaliando em t=1:
s'(1)=2\cdot1+2=4,
confirmando o resultado do limite anterior.

Resposta

Velocidade média no intervalo [1,\,1+h]: 4+h
Limite quando h\to0 (velocidade instantânea em t=1): 4

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