Calcule \lim _{t \rightarrow 2}\left(\sqrt{t+2} i+\frac{t-2}{t^{2}-4} j+\cos (\pi t) k\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função vetorial
\mathbf{r}(t)=\sqrt{t+2}\,\mathbf{i} \;+\;\frac{t-2}{t^{2}-4}\,\mathbf{j}\;+\;\cos(\pi t)\,\mathbf{k}
quando t\to2. Vamos usar propriedades de limite de funções contínuas e, no caso da componente j, tratar a indeterminação por fatoração.

Passo 2

A componente em \mathbf{i} é \sqrt{t+2}. Como a função raiz quadrada é contínua no ponto t=2, basta substituir:
\lim_{t\to2}\sqrt{t+2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.

Passo 3

A componente em \mathbf{j} é
\frac{t-2}{t^{2}-4}.
Ao substituir t=2 diretamente, temos 0/0, uma indeterminação. Note que
t^{2}-4=(t-2)(t+2),
então para t\neq2
\frac{t-2}{t^{2}-4} =\frac{t-2}{(t-2)(t+2)} =\frac{1}{t+2}.
Agora o limite é
\lim_{t\to2}\frac{1}{t+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}.

Passo 4

A componente em \mathbf{k} é \cos(\pi t). Como o cosseno é contínuo, basta substituir:
\lim_{t\to2}\cos(\pi t)=\cos(2\pi)=1.

Resposta

2\,\mathbf{i} \;+\;\frac{1}{4}\,\mathbf{j}\;+\;\mathbf{k}

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