Considere a equação
.
(a) Mostre que
é uma solução particular da equação.
(b) Resolva a equação.
(a) Mostre que
(b) Resolva a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é uma equação de Riccati. Em (a) precisamos verificar que
é solução particular e, em (b), encontrar a solução geral usando a substituição padrão para Riccati, que transforma em uma equação linear de primeira ordem.
Passo 2
Para mostrar que
satisfaz a equação, calculamos os dois lados:
O lado esquerdo é
O lado esquerdo é
O lado direito, substituindo
, é
Como os dois lados coincidem, concluímos que
é de fato solução particular.
Passo 3
Para achar a solução geral, usamos a substituição típica para Riccati quando conhecemos uma solução particular
:
Calculamos
:
Substituindo
e
na equação original e igualando os dois lados, após cancelar termos iguais, obtém-se uma equação linear para
:
Passo 4
Para resolver
usamos fator integrante
Multiplicando a equação por
vem
Integrando de
até
, obtemos
onde
é constante arbitrária. Assim
Portanto a solução geral da Riccati é
Resposta
A solução particular é
.
A solução geral da equação é
A solução geral da equação é
onde
é constante arbitrária.