{ }^{2.0} Considere a equação y^{\prime}+3 t y=4-4 t^{2}+y^{2}.
(a) Mostre que y(t)=4 t é uma solução particular da equação.
(b) Resolva a equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' + 3\,t\,y \;=\; 4 \;-\;4\,t^{2}\;+\;y^{2},
que é uma equação de Riccati. Em (a) precisamos verificar que y_{p}(t)=4t é solução particular e, em (b), encontrar a solução geral usando a substituição padrão para Riccati, que transforma em uma equação linear de primeira ordem.

Passo 2

Para mostrar que y_{p}(t)=4t satisfaz a equação, calculamos os dois lados:
O lado esquerdo é
y_{p}'+3t\,y_{p} =4 +3t\,(4t) =4+12t^{2}.
O lado direito, substituindo y_{p}=4t, é
4-4t^{2}+(4t)^{2} =4-4t^{2}+16t^{2} =4+12t^{2}.
Como os dois lados coincidem, concluímos que y_{p}(t)=4t é de fato solução particular.

Passo 3

Para achar a solução geral, usamos a substituição típica para Riccati quando conhecemos uma solução particular y_{p}:
y(t)=y_{p}(t)+\frac{1}{u(t)} =4t+\frac{1}{u}.
Calculamos y':
y' = 4 - \frac{u'}{u^{2}}.
Substituindo y e y' na equação original e igualando os dois lados, após cancelar termos iguais, obtém-se uma equação linear para u:
u' + 5\,t\,u = -1.

Passo 4

Para resolver
u' +5t\,u = -1
usamos fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int 5t\,dt\Bigr)=\exp\Bigl(\tfrac{5t^{2}}{2}\Bigr).
Multiplicando a equação por \mu(t) vem
\bigl(u\,e^{5t^{2}/2}\bigr)' = -e^{5t^{2}/2}.
Integrando de t_{0} até t, obtemos
u(t)\,e^{5t^{2}/2} = C \;-\;\int^{\,t} e^{5s^{2}/2}\,ds,
onde C é constante arbitrária. Assim
u(t) = e^{-5t^{2}/2}\Bigl(C - \int^{\,t} e^{5s^{2}/2}\,ds\Bigr).
Portanto a solução geral da Riccati é
y(t) =4t + \frac{1}{u(t)} =4t \;+\; \frac{e^{5t^{2}/2}}{\,C - \displaystyle\int^{\,t} e^{5s^{2}/2}\,ds\,}.

Resposta

A solução particular é y_{p}(t)=4t.
A solução geral da equação é
y(t) =4t + \frac{e^{5t^{2}/2}}{\,C - \displaystyle\int^{\,t} e^{5s^{2}/2}\,ds\,},
onde C é constante arbitrária.

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