Calcule \lim _{t \rightarrow t_{o}} F(t) nos casos abaixo.
F(t)=(t+\operatorname{sen} t, t-\operatorname{sen} t, \cos t), t_{o}=0

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
F(t) = \bigl(t+\sin t,\;t-\sin t,\;\cos t\bigr)
quando t\to t_{0}=0. Vamos usar que o limite de uma função vetorial é o vetor dos limites de cada componente e que t, \sin t e \cos t são funções contínuas.

Passo 2

Calcular o limite da primeira componente:
\lim_{t\to0}\bigl(t+\sin t\bigr) =\lim_{t\to0}t+\lim_{t\to0}\sin t =0+0 =0.

Passo 3

Calcular o limite da segunda componente:
\lim_{t\to0}\bigl(t-\sin t\bigr) =\lim_{t\to0}t-\lim_{t\to0}\sin t =0-0 =0.

Passo 4

Calcular o limite da terceira componente:
\lim_{t\to0}\cos t =\cos(0) =1.

Passo 5

Como o limite vetorial é o vetor das componentes, temos
\lim_{t\to0}F(t) =(0,\;0,\;1).

Resposta

(0,0,1)

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