Calcule lim f(x+h)-f(x)/h quando h tendendo 0 sendo f dada por:
A) f(x)=2x²+x
B) f(x)=-x³+2x

Passo 1

Ok, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas funções diferentes, e a gente precisa calcular o limite de f(x+h) - f(x)h quando h tende a 0. Isso faz parte do estudo de derivadas em Cálculo. Basicamente, estamos tentando descobrir a taxa de variação instantânea da função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo para cada função.

Passo 2

Parte A: f(x) = 2x^2 + x
Primeiro, vamos substituir f(x+h) na fórmula:
f(x+h) = 2(x+h)^2 + (x+h)
Agora, vamos expandir e simplificar:
f(x+h) = 2(x^2 + 2xh + h^2) + x + h
f(x+h) = 2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h
Subtraindo f(x):
f(x+h) - f(x) = (2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h) - (2x^2 + x)
f(x+h) - f(x) = 4xh + 2h^2 + h
Agora, vamos dividir por h:
f(x+h) - f(x)h = 4xh + 2h^2 + hh
f(x+h) - f(x)h = 4x + 2h + 1
Agora, tiramos o limite quando h tende a 0:
limh to 0 (4x + 2h + 1) = 4x + 0 + 1
limh to 0 f(x+h) - f(x)h = 4x + 1

Passo 3

Parte B: f(x) = -x^3 + 2x
Vamos seguir o mesmo processo. Primeiro, substituímos f(x+h):
f(x+h) = -(x+h)^3 + 2(x+h)
Vamos expandir (x+h)^3:
(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
Substituindo de volta:
f(x+h) = -x^3 - 3x^2h - 3xh^2 - h^3 + 2x + 2h
Subtraindo f(x):
f(x+h) - f(x) = (-x^3 - 3x^2h - 3xh^2 - h^3 + 2x + 2h) - (-x^3 + 2x)
f(x+h) - f(x) = -3x^2h - 3xh^2 - h^3 + 2h
Dividindo por h:
f(x+h) - f(x)h = -3x^2h - 3xh^2 - h^3 + 2hh
f(x+h) - f(x)h = -3x^2 - 3xh - h^2 + 2
Tirando o limite quando h tende a 0:
limh to 0 (-3x^2 - 3xh - h^2 + 2) = -3x^2 - 0 - 0 + 2
limh to 0 f(x+h) - f(x)h = -3x^2 + 2

Resposta

A) limh to 0 f(x+h) - f(x)h = 4x + 1
B) limh to 0 f(x+h) - f(x)h = -3x^2 + 2

Exercícios relacionados