Calcule
\lim _{\theta \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\operatorname{sen} \theta}{\theta-\pi / 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{\theta\to\pi/2}\frac{1-\operatorname{sen}\theta}{\theta-\pi/2}
O conteúdo envolve limites de funções trigonométricas e aplicação da regra de L’Hôpital para indeterminações da forma \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Verificamos a forma ao substituir \theta=\pi/2:
o numerador fica 1-\operatorname{sen}(\pi/2)=1-1=0 e o denominador fica \pi/2-\pi/2=0.
Portanto há indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Como temos \tfrac{0}{0}, aplicamos a regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denomindor em relação a \theta:
derivada do numerador 1-\operatorname{sen}\theta é -\cos\theta,
derivada do denominador \theta-\pi/2 é 1.
Assim,
\lim_{\theta\to\pi/2}\frac{1-\operatorname{sen}\theta}{\theta-\pi/2} =\lim_{\theta\to\pi/2}\frac{-\cos\theta}{1}

Passo 4

Bast a agora substituir \theta=\pi/2 em -\cos\theta:
-\cos\bigl(\pi/2\bigr)=-0=0.

Resposta

0

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