Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{\operatorname{sen}(4 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(4x)},
que envolve a propriedade clássica de pequena-ângulo:
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 2

Para explorar esse limite, reescrevemos a fração de modo a destacar termos do tipo \operatorname{sen}(u)/u:
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(4x)} =\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}\,\cdot\frac{3x}{4x}\,\cdot\frac{4x}{\operatorname{sen}(4x)}.

Passo 3

Quando x\to0, temos
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{4x}{\operatorname{sen}(4x)}=1.
O fator do meio fica
\lim_{x\to0}\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}.
Multiplicando tudo:
1\cdot\frac{3}{4}\cdot1=\frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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