Determine um vetor normal e a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
(x{2}+y{2}=2, P_{0}(1,1)

Passo 1

O enunciado pede para, numa curva dada implicitamente, achar um vetor normal e a reta tangente no ponto específico. Aqui a curva é o círculo de raio √2 definido por x²+y²=2 e o ponto é P₀(1,1). Vamos usar derivada implícita e gradiente para isso.

Passo 2

Definimos a função implícita
f(x,y)=x^2+y^2-2
que zera na curva. O gradiente de f, ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y), é sempre perpendicular à curva e, portanto, é um vetor normal.

Passo 3

Calculamos o gradiente:
∂f/∂x=2x, ∂f/∂y=2y
Logo,
∇f(1,1)=(2·1,2·1)=(2,2)
Podemos usar como vetor normal qualquer múltiplo não nulo, por exemplo (1,1).

Passo 4

Para achar a reta tangente, podemos também usar derivação implícita: derivando x²+y²=2 em relação a x,
2x+2ydydx=0
daí
dydx=-xy
No ponto (1,1) isso dá y'=-1, que é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 5

Com coeficiente angular m=-1 e passando por (1,1), a equação ponto‐inclinação é
y-1=-1(x-1)
ou seja
y=-x+2

Resposta

Vetor normal: vec n=(1,1). Reta tangente: y=-x+2.

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