Determine um vetor normal e a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
(x{2}+y{2}=2, P_{0}(1,1)
(x{2}+y{2}=2, P_{0}(1,1)
Passo 1
O enunciado pede para, numa curva dada implicitamente, achar um vetor normal e a reta tangente no ponto específico. Aqui a curva é o círculo de raio √2 definido por x²+y²=2 e o ponto é P₀(1,1). Vamos usar derivada implícita e gradiente para isso.
Passo 2
Definimos a função implícita
que zera na curva. O gradiente de f,
, é sempre perpendicular à curva e, portanto, é um vetor normal.
Passo 3
Calculamos o gradiente:
Logo,
Podemos usar como vetor normal qualquer múltiplo não nulo, por exemplo
.
Passo 4
Para achar a reta tangente, podemos também usar derivação implícita: derivando x²+y²=2 em relação a x,
daí
No ponto (1,1) isso dá
, que é o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 5
Com coeficiente angular
e passando por (1,1), a equação ponto‐inclinação é
ou seja
Resposta
Vetor normal:
. Reta tangente:
.