Calcule.
lim x 0(1+2 x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0(1+2x)^x
Esse é um limite do tipo 1^0, então vamos usar a técnica de escrever a expressão como uma exponencial com logaritmo natural.

Passo 2

Definimos
L = limxto0(1+2x)^x
Usamos a identidade a^b = e^bln(a) para obter
L = limxto0e^,xln(1+2x) = e^limxto0 xln(1+2x)

Passo 3

Para avaliar o expoente, usamos a expansão em série de Taylor para ln(1+u) quando uto0:
ln(1+u)=u+o(u).
Aqui u=2x, então
ln(1+2x)=2x+o(x)
Multiplicando por x,
xln(1+2x)=xl(2x+o(x)r)=2x^2+o(x^2)
Tomando o limite,
limxto0xln(1+2x)=limxto0(2x^2+o(x^2))=0

Passo 4

Como o expoente tende a zero, concluímos que
L = e^0 = 1

Resposta

1

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