Seja
. Em
considere as seguintes operações:
II)
.
Mostre que o
é um espaço vetorial.
II)
Passo 1
O enunciado define
com as operações padrão:
- Soma coordenada a coordenada
- Multiplicação por escalar coordenada a coordenada
Para mostrar queé um espaço vetorial sobre , precisamos verificar os oito axiomas: fechamento, propriedades da soma (comutatividade, associatividade, vetor nulo e inverso) e propriedades da multiplicação escalar (identidade, associatividade e distributividades).
Passo 2
Fechamento.
Seja e
em
.
Seja
Como cada
e
é fechado sob soma, segue
.
Para ,
Para
e como
é fechado sob produto,
.
Passo 3
Propriedades da soma.
(a) Comutatividade:
(a) Comutatividade:
(b) Associatividade:
(c) Vetor nulo:
satisfaz
.
(d) Inverso aditivo: definindo , temos
.
(d) Inverso aditivo: definindo
Passo 4
Propriedades da multiplicação escalar.
(a) Identidade:
(a) Identidade:
(b) Compatibilidade de escalares:
(c) Distributividade em escalares:
(d) Distributividade em vetores:
Resposta
Como todos os axiomas de espaço vetorial sobre
estão verificados, concluímos que
é um espaço vetorial.