Seja R^n=(a1, cdots, an) ; ai in R, i=1, cdots, n, n >= 1. Em R^n considere as seguintes operações:
II) lambda(a1, cdots, an)=(lambda a1, cdots, lambda an) ; lambda in R.
Mostre que o R^n é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define R^n=(a1,dots,an)mid aiinR com as operações padrão:
  1. Soma coordenada a coordenada
  2. Multiplicação por escalar coordenada a coordenada
    Para mostrar que R^n é um espaço vetorial sobre R, precisamos verificar os oito axiomas: fechamento, propriedades da soma (comutatividade, associatividade, vetor nulo e inverso) e propriedades da multiplicação escalar (identidade, associatividade e distributividades).

Passo 2

Fechamento.
Seja u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) em R^n.
u+v=(u1+v1,dots,un+vn)
Como cada ui,viinR e R é fechado sob soma, segue u+vinR^n.
Para lambdainR,
lambdau=(lambda u1,dots,lambda un),
e como R é fechado sob produto, lambdauinR^n.

Passo 3

Propriedades da soma.
(a) Comutatividade:
u+v=(u1+v1,dots)=(v1+u1,dots)=v+u
(b) Associatividade:
(u+v)+w=((u1+v1)+w1,dots)=(u1+(v1+w1),dots)=u+(v+w)
(c) Vetor nulo: 0=(0,dots,0) satisfaz u+0=u.
(d) Inverso aditivo: definindo -u=(-u1,dots,-un), temos u+(-u)=0.

Passo 4

Propriedades da multiplicação escalar.
(a) Identidade:
1cdotu=(1cdot u1,dots,1cdot un)=u
(b) Compatibilidade de escalares:
(lambdamu)u=((lambdamu)u1,dots)=lambda(muu)
(c) Distributividade em escalares:
(lambda+mu)u=((lambda+mu)u1,dots)=(lambda u1+mu u1,dots)=lambdau+muu
(d) Distributividade em vetores:
lambda(u+v)=(lambda(u1+v1),dots)=(lambda u1+lambda v1,dots)=lambdau+lambdav

Resposta

Como todos os axiomas de espaço vetorial sobre R estão verificados, concluímos que R^n é um espaço vetorial.

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