Seja R^n=(a1, cdots, an) ; ai in R, i=1, cdots, n, n >= 1. Em R^n considere as seguintes operações:
I) (a1, cdots, an)+(b1, cdots, bn)=(a1+b1, cdots, an+bn);
Mostre que o R^n é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define o conjunto R^n e as operações
(a1,dots,an)+(b1,dots,bn)=(a1+b1,dots,an+bn)
alpha,(a1,dots,an)=(alpha a1,dots,alpha an)
Queremos verificar que R^n satisfaz os oito axiomas de espaço vetorial sobre R:
  1. fechamento sob soma e multiplicação escalar
  2. associatividade da soma
  3. comutatividade da soma
  4. existência de elemento neutro aditivo
  5. existência de inverso aditivo
  6. distributividade de alpha sobre soma de vetores
  7. distributividade de soma de escalares sobre vetor
  8. compatibilidade e identidade na multiplicação escalar

Passo 2

(Fechamento)
Sejam u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) em R^n. Como ui,viinR para todo i, temos ui+viinR, logo
u+v=(u1+v1,dots,un+vn)inR^n
De modo análogo, para alphainR cada alpha uiinR, e
alpha,u=(alpha u1,dots,alpha un)inR^n

Passo 3

(Associatividade e comutatividade da soma)
Para u,v,winR^n e todo i vale
(ui+vi)+wi = ui+(vi+wi), ui+vi = vi+ui
Portanto
(u+v)+w = u+(v+w), u+v = v+u

Passo 4

(Neutro e inverso aditivo)
Defina 0=(0,dots,0). Então
u+0 = (ui+0) = u
Para cada u o inverso aditivo é -u=(-u1,dots,-un), pois
u+(-u) = (ui - ui) = 0

Passo 5

(Distributividade)
Para alpha,betainR e u,vinR^n:
alpha(u+v) = (alpha(ui+vi)) = (alpha ui+alpha vi) = alphau + alphav,
(alpha+beta)u = ((alpha+beta)ui) = (alpha ui+beta ui) = alphau + betau

Passo 6

(Compatibilidade e identidade escalar)
Para alpha,betainR e uinR^n:
alpha(beta,u) = (alpha(beta ui)) = ((alphabeta)ui) = (alphabeta)u, 1cdotu = (1cdot ui) = u

Resposta

Como todas as propriedades acima são satisfeitas, concluímos que R^n é um espaço vetorial sobre R.

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