Seja
. Em
considere as seguintes operações:
I)
;
Mostre que o
é um espaço vetorial.
I)
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e as operações
Queremos verificar que
satisfaz os oito axiomas de espaço vetorial sobre
:
- fechamento sob soma e multiplicação escalar
- associatividade da soma
- comutatividade da soma
- existência de elemento neutro aditivo
- existência de inverso aditivo
- distributividade de
sobre soma de vetores - distributividade de soma de escalares sobre vetor
- compatibilidade e identidade na multiplicação escalar
Passo 2
(Fechamento)
Sejam e
em
. Como
para todo
, temos
, logo
Sejam
De modo análogo, para
cada
, e
Passo 3
(Associatividade e comutatividade da soma)
Para e todo
vale
Para
Portanto
Passo 4
(Neutro e inverso aditivo)
Defina . Então
Defina
Para cada
o inverso aditivo é
, pois
Passo 5
(Distributividade)
Para e
:
Para
Passo 6
(Compatibilidade e identidade escalar)
Para e
:
Para
Resposta
Como todas as propriedades acima são satisfeitas, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.