Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo envolvido é limite de composição de funções e simplificação algébrica de uma expressão que dá forma indeterminada. Vamos precisar:
- Simplificar a fração
. - Verificar que essa simplificação leva a valores no domínio de
, ou seja em . - Usar a continuidade de
em pontos internos do seu domínio para trocar limite e função.
Passo 2
Simplificamos a fração:
Agora reconhecemos a diferença de quadrados no denominador:
Passo 3
Para
próximo de
, sem ser igual, a expressão interna fica
Como
, temos
. Logo o argumento de
está sempre em
perto de
, garantindo que a função inversa do seno esteja bem definida e contínua.
Passo 4
Agora calculamos o limite da parte interna:
Como
é contínua em
, podemos passar o limite para dentro: