Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x 1 sin ^-1(1-raizx1-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1sin^-1!gl(1-raizx1-xgr)
O conteúdo envolvido é limite de composição de funções e simplificação algébrica de uma expressão que dá forma indeterminada. Vamos precisar:
  1. Simplificar a fração 1-raizx1-x.
  2. Verificar que essa simplificação leva a valores no domínio de sin^-1, ou seja em [-1,1].
  3. Usar a continuidade de sin^-1(cdot) em pontos internos do seu domínio para trocar limite e função.

Passo 2

Simplificamos a fração:
1-raizx1-x =-(raizx-1)-(x-1) =raizx-1x-1
Agora reconhecemos a diferença de quadrados no denominador:
raizx-1x-1 =raizx-1(raizx-1)(raizx+1) =1raizx+1

Passo 3

Para x próximo de 1, sem ser igual, a expressão interna fica
1-raizx1-x =1raizx+1
Como raizx+1>0, temos 0<tfrac1raizx+1<=1. Logo o argumento de sin^-1 está sempre em [0,1] perto de x=1, garantindo que a função inversa do seno esteja bem definida e contínua.

Passo 4

Agora calculamos o limite da parte interna:
limxto11raizx+1 =1raiz1+1 =12
Como sin^-1(y) é contínua em y=tfrac12, podemos passar o limite para dentro:
limxto1sin^-1!l(tfrac1raizx+1r) =sin^-1!l(limxto1tfrac1raizx+1r) =sin^-1!l(tfrac12r)

Resposta

limxto1sin^-1!l(tfrac1-raizx1-xr) =sin^-1!l(tfrac12r) =pi6

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