Calcule lim x 1(1+3 xx-4 x^2+3 x^4)^3

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 1 da expressão $ \left( \frac{1 + 3x}{x - 4x^{2} + 3x^{4}} \right)^{3} $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e analisar comportamentos de funções que tendem ao infinito ou possuem formas indeterminadas.

Passo 2

Vamos começar substituindo $ x = 1 $ na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente.
Substituindo:
  • Numerador: $ 1 + 3(1) = 4 $
  • Denominador: $ 1 - 4(1)^2 + 3(1)^4 = 1 - 4 + 3 = 0 $
Então, a expressão fica $ \left( \frac{4}{0} \right)^{3} $. Isso nos leva a uma forma indeterminada, pois estamos dividindo por zero.

Passo 3

Quando encontramos uma fração onde o denominador tende a zero, precisamos analisar de qual lado (positivo ou negativo) ele está se aproximando de zero. Isso nos ajudará a entender o comportamento da função.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento do denominador $ x - 4x^{2} + 3x^{4} $ quando $ x $ se aproxima de 1, tanto pela direita ($ x \to 1^+ x - 4x^2 + 3x^4 x \to 1^- $).
  • Para $ x \to 1^+ $:
    • Suponha que $ x = 1 + h $, onde $ h $ é um número muito pequeno positivo.
    • Substituindo na expressão do denominador: $ (1 + h) - 4(1 + h)^2 + 3(1 + h)^4 $.
    • Calculando para valores muito pequenos de $ h $, verificamos que o denominador tende a um valor positivo próximo de zero.
  • Para $ x \to 1^- $:
    • Suponha que $ x = 1 - h $, onde $ h $ é um número muito pequeno positivo.
    • Substituindo na expressão do denominador: $ (1 - h) - 4(1 - h)^2 + 3(1 - h)^4 $.
    • Calculando para valores muito pequenos de $ h $, verificamos que o denominador tende a um valor negativo próximo de zero.

Passo 5

Agora, vamos analisar a fração $ \frac{4}{denominador} $ com base no que vimos:
  • Para $ x \to 1^+ $:
    • O denominador tende a 0 positivo.
    • Então, $ \frac{4}{positivo \to 0^+} $ tende a $ +\infty $.
  • Para $ x \to 1^- $:
    • O denominador tende a 0 negativo.
    • Então, $ \frac{4}{negativo \to 0^-} $ tende a $ -\infty $.

Passo 6

A expressão original está elevada ao cubo, então devemos considerar como isso afeta os resultados:
  • $ (+\infty)^3 = +\infty $
  • $ (-\infty)^3 = -\infty $

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais tendem a $ +\infty $ e $ -\infty $ respectivamente.

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