Calcule.
lim x 0 e^x^2-1x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0e^x^2-1x
Isso envolve limite de uma forma indeterminada tfrac00, e podemos usar a regra de L’Hôpital ou o desenvolvimento em série de Taylor de e^x^2.

Passo 2

Fazendo a substituição direta em numerador e denominador, temos
e^0^2-1=1-1=0 e 0
logo a forma é tfrac00, ou seja, indeterminada.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, quando limxto af(x)/g(x) tfrac00, podemos calcular
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x),
desde que esse segundo limite exista ou seja pminfty.

Passo 4

Derivando numerador e denominador:
f(x)=e^x^2-1 Longrightarrow f'(x)=2x,e^x^2,
g(x)=x Longrightarrow g'(x)=1
Logo
limxto 0e^x^2-1x =limxto 02x,e^x^21 =limxto 02x,e^x^2
Ao substituir x=0, obtemos 2cdot 0cdot e^0=0.

Resposta

O limite é 0.

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