Considere a matriz
A=(rrrr 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & -2 -1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 2 )
(a) Qual a forma linha-reduzida de Echelon da matriz A?
(b) Qual o determinante de A?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & -2 -1 & -1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 2
e pede (a) sua forma reduzida por linhas (RREF) e (b) seu determinante.
Conteúdos usados: eliminação de Gauss-Jordan para achar a RREF e definição de determinante (expansão por cofatores ou rastreamento de operações elementares).

Passo 2

Eliminamos a coluna 1 abaixo do pivô 1 em A. Usamos
  • R3>=ts R3+R1 e
  • R4>=ts R4-R1.
    Obtemos
1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & -2 0 & -1 & 2 & 0 0 & 1 & -2 & 2

Passo 3

Agora pivot em coluna 2: trocamos R2 com R3 (sinal -) e escalonamos R2 para que o pivô seja +1 (multiplicamos por -1). Depois zeramos abaixo em coluna 2 com
R4>=ts R4 - R2
Fica
1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & 2

Passo 4

Para a forma reduzida final, escalonamos e eliminamos colunas 3 e 4:
  1. R3>=ts tfrac12R3 torna o pivô em 1.
  2. Usamos R1>=ts R1-2R3 e R2>=ts R2+2R3 para zerar acima.
  3. R4>=ts tfrac12R4 torna o pivô em 1.
  4. Usamos R1>=ts R1-2R4, R2>=ts R2+2R4, R3>=ts R3+R4.
O resultado é a matriz identidade de ordem 4:
RREF(A)= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1

Passo 5

Para o determinante, usamos expansão por cofatores ao longo da primeira linha:
det(A) =1cdotdet 0 & 2 & -2 -1 & 0 & 0 1 & 0 & 2 +2cdot(-1)^1+3det 0 & 0 & -2 -1 & -1 & 0 1 & 1 & 2
Calcula-se
det 0 & 2 & -2 -1 & 0 & 0 1 & 0 & 2 =4, det 0 & 0 & -2 -1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 =0,
logo det(A)=1cdot4 + 2cdot1cdot0=4.

Resposta

(a)
RREF(A)= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
(b)
det(A)=4

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