Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x 9 raiz1+raizx-2x-9

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto9raiz1+raizx-2x-9
que apresenta forma indeterminada. Vamos usar técnicas de álgebra de limites, em particular racionalização do numerador.

Passo 2

Ao substituir x=9 diretamente, o numerador vira raiz1+raiz9-2=raiz1+3-2=2-2=0 e o denominador é 9-9=0. Logo temos uma indeterminação do tipo tfrac00, o que justifica a racionalização.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por raiz1+raizx+2:
raiz1+raizx-2x-9 =(raiz1+raizx-2)(raiz1+raizx+2)(x-9)(raiz1+raizx+2) =1+raizx-4(x-9)(raiz1+raizx+2) =raizx-3(x-9)(raiz1+raizx+2)

Passo 4

Note que raizx-3 fatoriza com x-9 pois
x-9=(raizx-3)(raizx+3)
Assim,
raizx-3x-9 =1raizx+3,
e a expressão fica
1(raizx+3),(raiz1+raizx+2)

Passo 5

A função acima é contínua em x=9, logo basta substituir raiz9=3 e raiz1+3=2:
limxto91(raizx+3)(raiz1+raizx+2) =1(3+3)(2+2) =124

Resposta

124

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