Exercício 4: Calcule os limites no infinito das funções:
lim x infty cos (tan ^-1(x))
2. lim x infty tan ^-1(cos (x))
3. lim x infty 2 x^2-5 x-3x^2-2 x-3
4. lim x infty cos ^-1(raiz3 x+32 x-9)
5. lim x infty ln (2 x^3+9x^5-12)

Passo 1

O exercício pede para calcular cinco limites quando xtoinfty, envolvendo funções compostas como cos(tan^-1x), tan^-1(cos x), funções racionais, cos^-1 e logaritmo. Vamos usar propriedades de funções inversas, critérios de limite de funções oscilantes, razão de polinômios de mesmo grau e continuidade de funções elementares.

Passo 2

Para
limxtoinftycosl(tan^-1(x)r),
faça theta=tan^-1(x), ou seja tantheta=x. Num triângulo retângulo com cateto oposto x, adjacente 1 e hipotenusa raiz1+x^2, temos
cosl(tan^-1(x)r)=costheta=1raiz1+x^2xrightarrow[xtoinfty]0

Passo 3

Para
limxtoinftytan^-1l(cos xr),
observe que cos x oscila entre -1 e 1 sem ter limite quando xtoinfty. Como tan^-1(y) é contínua em [-1,1], tan^-1(cos x) oscila entre tan^-1(-1)=-tfracpi4 e tan^-1(1)=tfracpi4, logo não se aproxima de um único valor. Portanto o limite não existe.

Passo 4

Para
limxtoinfty2x^2-5x-3x^2-2x-3,
compare os termos de maior grau no numerador e denominador (grau 2 em ambos). A razão dos coeficientes principais é
21=2,
portanto
limxtoinfty2x^2-5x-3x^2-2x-3=2

Passo 5

Para
limxtoinftycos^-1!l(raiz3,x+32x-9r),
observe que
raiz3,x+32x-9xrightarrow[xtoinfty]raiz32
Como cos^-1(y) é contínua em l(-1,1r) e raiz32in(-1,1),
limxtoinftycos^-1!l(raiz3,x+32x-9r) =cos^-1!l(tfracraiz32r) =pi6

Passo 6

Para
limxtoinftyln!l(2x^3+9x^5-12r),
note que, para x grande, tfrac2x^3+9x^5-12simtfrac2x^3x^5=2x^-2to0^+. Então
ln!l(tfrac2x^3+9x^5-12r)xrightarrow[xtoinfty] ln(0^+) =-infty

Resposta

  1. 0
  2. não existe
  3. 2
  4. tfracpi6
  5. -infty

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