Exercício 4: Calcule os limites no infinito das funções:
2.
3.
4.
5.
Passo 1
O exercício pede para calcular cinco limites quando , envolvendo funções compostas como , , funções racionais, e logaritmo. Vamos usar propriedades de funções inversas, critérios de limite de funções oscilantes, razão de polinômios de mesmo grau e continuidade de funções elementares.
Passo 2
Para
faça , ou seja . Num triângulo retângulo com cateto oposto , adjacente e hipotenusa , temos
Passo 3
Para
limxtoinftytan^-1l(cos xr),
observe que cos x oscila entre -1 e 1 sem ter limite quando xtoinfty. Como tan^-1(y) é contínua em [-1,1], tan^-1(cos x) oscila entre tan^-1(-1)=-tfracpi4 e tan^-1(1)=tfracpi4, logo não se aproxima de um único valor. Portanto o limite não existe.
Passo 4
Para
limxtoinfty2x^2-5x-3x^2-2x-3,
compare os termos de maior grau no numerador e denominador (grau 2 em ambos). A razão dos coeficientes principais é
21=2,
portanto
limxtoinfty2x^2-5x-3x^2-2x-3=2
Passo 5
Para
limxtoinftycos^-1!l(raiz3,x+32x-9r),
observe que
raiz3,x+32x-9xrightarrow[xtoinfty]raiz32
Como cos^-1(y) é contínua em l(-1,1r) e raiz32in(-1,1),