Calcule.
lim x 0 5^x-1x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto 05^x-1x
Esse limite é exatamente a definição de derivada da função a^x em x=0, mas também podemos usar a representação em termos de exponencial neperiano.

Passo 2

Usamos a identidade
5^x = e^xln 5,
então o quociente fica
5^x-1x = e^xln 5-1x

Passo 3

Para aproveitar o limite fundamental
limyto 0e^y-1y=1,
multiplicamos e dividimos por ln 5:
e^xln 5-1x = e^xln 5-1xln 5,ln 5
Aqui escolhemos y=xln 5, que vai a zero quando xto0.

Passo 4

Aplicando o limite, a primeira fração tende a 1, então
limxto 05^x-1x = 1cdot ln 5 = ln 5

Resposta

ln 5

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