Calcule.
lim x 0 x^3+x^23 x^3+x^4+x

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto0x^3+x^23x^3+x^4+x. O conteúdo envolve análise de limites de funções racionais e tratamento de indeterminações do tipo 0/0, usando fatoração e simplificação.

Passo 2

Vamos primeiro verificar o tipo de indeterminação substituindo x=0 diretamente. No numerador temos 0^3+0^2=0 e no denominador 3cdot0^3+0^4+0=0. Portanto temos uma indeterminação 0/0.

Passo 3

Para eliminar essa indeterminação, vamos fatorar x em numerador e denominador. Note que
x^3 + x^2 = x^2(x + 1)
3x^3 + x^4 + x = xl(3x^2 + x^3 + 1r)

Passo 4

Agora podemos simplificar um fator x comum (quando xneq0) na fração:
x^3+x^23x^3+x^4+x = x^2(x+1)xl(3x^2+x^3+1r) = x(x+1)3x^2+x^3+1

Passo 5

Na expressão simplificada, não temos mais indeterminação ao enviar x a zero. Basta substituir x=0: o numerador fica 0cdot(0+1)=0 e o denominador 3cdot0^2+0^3+1=1.

Resposta

0

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