Seja f(x)= x, & se x<1 x^2, & se 1 <= x <= 9 27 raizx, & se x>9
Verifique que f tem uma inversa e encontre f^-1(x).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x, & x<1, x^2, & 1 <= x <= 9, 27raizx, & x>9,
e pede para verificar que f é invertível e determinar f^-1. O conteúdo necessário é reconhecer monotonicidade em cada ramo, achar a imagem de cada ramo e inverter cada expressão.

Passo 2

Cada ramo de f é estritamente crescente:
– Para x<1, f(x)=x é crescente.
– Para 1<= x<=9, f(x)=x^2 é crescente em [1,9].
– Para x>9, f(x)=27raizx é crescente em (9,infty).
Além disso, em x=1 e x=9 não há “volta” nem descontinuidade de ordem:
limxto1^-f(x)=1=f(1), limxto9^-f(x)=81=f(9), limxto9^+f(x)=27raiz9=81
Logo f é estritamente crescente em R e, portanto, invertível.

Passo 3

Vamos achar a imagem de cada ramo e inverter:
1. Para x<1, f(x)=x toma todos os valores y<1. A inversa é x=y.
2. Para 1<= x<= 9, f(x)=x^2 varia de 1^2=1 até 9^2=81, i.e.\ yin[1,81]. Invertendo y=x^2 em x>= 0 x=raizy.
3. Para x>9, f(x)=27raizx varia de 27cdot 3=81 até +infty, i.e.\ y>81. Invertendo y=27raizx raizx=y/27 e assim x=(y/27)^2.

Passo 4

Reunindo tudo, a inversa f^-1 sobre y é
f^-1(y)= y, & y<1, raizy, & 1<= y<= 81, l(tfracy27r)^2, & y>81

Resposta

f^-1(y)= y, & y<1, raizy, & 1<= y<= 81, l(tfracy27r)^2, & y>81

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