e pede para verificar que f é invertível e determinar f^-1. O conteúdo necessário é reconhecer monotonicidade em cada ramo, achar a imagem de cada ramo e inverter cada expressão.
Passo 2
Cada ramo de f é estritamente crescente:
– Para x<1, f(x)=x é crescente.
– Para 1<= x<=9, f(x)=x^2 é crescente em [1,9].
– Para x>9, f(x)=27raizx é crescente em (9,infty).
Além disso, em x=1 e x=9 não há “volta” nem descontinuidade de ordem:
Logo f é estritamente crescente em R e, portanto, invertível.
Passo 3
Vamos achar a imagem de cada ramo e inverter: 1. Para x<1, f(x)=x toma todos os valores y<1. A inversa é x=y. 2. Para 1<= x<= 9, f(x)=x^2 varia de 1^2=1 até 9^2=81, i.e.\ yin[1,81]. Invertendo y=x^2 em x>= 0 dá x=raizy. 3. Para x>9, f(x)=27raizx varia de 27cdot 3=81 até +infty, i.e.\ y>81. Invertendo y=27raizx dá raizx=y/27 e assim x=(y/27)^2.