Resolva os sistemas:
r2 x+3 y-z=0 x-4 y+z=0 3 x+y-2 z=0
x+2 y-z & =0 2 x-y+3 z & =0 4 x+3 y+z & =0

Passo 1

O enunciado pede a solução de dois sistemas lineares homogêneos. O conteúdo envolvido é resolução de sistemas de equações lineares com três incógnitas, que pode ser feito via Regra de Cramer (quando o determinante da matriz de coeficientes é não nulo) ou por eliminação de Gauss (para encontrar solução paramétrica quando o determinante é zero).

Passo 2

Para o primeiro sistema
2x+3y - z=0, x-4y + z=0, 3x+y -2z=0,
montamos a matriz de coeficientes
A = 2 & 3 & -1 1 & -4 & 1 3 & 1 & -2
e calculamos o determinante expandindo pela primeira linha:
det(A) =2det-4 & 11 & -2 -3det1 & 13 & -2 +(-1)det1 & -43 & 1
Agora
det(A) =2,(8-1)-3,(-2-3)-l(1+12r) =2cdot7-3cdot(-5)-13 =14+15-13 =16

Passo 3

Como det(A)=16neq0, o sistema homogêneo admite apenas a solução trivial
x=0, y=0, z=0

Passo 4

Para o segundo sistema
x+2y - z=0, 2x -y +3z=0, 4x+3y +z=0,
usamos eliminação de Gauss. Da primeira equação isolamos
x=-2y+z
Substituindo na segunda equação:
2(-2y+z)-y+3z=0 ;Longrightarrow;-4y+2z -y+3z=0 ;Longrightarrow;-5y+5z=0 ;Longrightarrow;y=z
Chamando z=t, fica y=t e então
x=-2t+t=-t
Verificamos que a terceira equação é satisfeita automaticamente.

Resposta

Primeiro sistema:
(x,y,z)=(0,0,0)
Segundo sistema:
(x,y,z)=t,(-1,1,1), tinR

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