Seja a>0. Utilizando o resultado da questão 3 , mostre que
lim x 0 a^x-1x=ln a

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0a^x-1x,
sabendo que a>0. O conteúdo aqui é limite envolvendo exponencial geral, e vamos precisar do resultado da questão 3, que é
limuto0e^u-1u=1

Passo 2

Reescrevemos a^x em termos da função exponencial natural, pois conhecemos bem o comportamento de e^u. Lembrando que
a^x=e^xln a,
onde ln a é constante.

Passo 3

Definimos uma nova variável u por
u = xln a
Quando xto0, uto0 também (pois ln a é constante). Substituindo na expressão do limite, temos
a^x-1x =e^xln a-1x =e^u-1x

Passo 4

Para usar o resultado da questão 3, queremos a forma (e^u-1)/u. Note que
e^u-1x =e^u-1ucdotux
Aqui ux=ln a, pois u=xln a. Logo
a^x-1x =e^u-1u,ln a

Passo 5

Agora aplicamos o limite uto0. Pelo resultado da questão 3, limuto0(e^u-1)/u=1. Assim
limxto0a^x-1x =l(limuto0e^u-1ur)ln a =1cdotln a =ln a

Resposta

limxto0a^x-1x=ln a

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