Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
sabendo que
e
são duas soluções da equação homogênea associada.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial:
Esse é um exemplo de equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. O método que vamos usar pra resolver isso se chama variação dos parâmetros. Para aplicar esse método, já sabemos que as soluções da equação homogênea associada são $ y_1 = x $ e $ y_2 = \frac{1}{x} $. Então, vamos precisar desses dois para seguir com a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação homogênea associada. É a mesma equação original, mas igualando o lado direito a zero:
As soluções dessa equação são $ y_1 = x $ e $ y_2 = \frac{1}{x} $, que você já tem.
Passo 3
No método de variação dos parâmetros, a gente busca uma solução particular da equação não homogênea ($ y_p $) assumindo que os coeficientes $ u_1 $ e $ u_2 $ das soluções homogêneas $ y_1 $ e $ y_2 $ variam com $ x $:
Então, vamos expressar $ y_p $ assim:
Passo 4
Para encontrar $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $, precisamos derivar $ y_p $ e suas derivadas. Calculando a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Mas para simplificar, podemos impor as condições:
Isso reduz a complexidade das derivadas.
Passo 5
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original e usando as condições acima, chegamos a um sistema de equações para $ u_1’(x) $ e $ u_2’(x) $. Resolvendo esse sistema, encontramos:
Aqui, $ RHS = \ln x $ e $ W $ é o Wronskiano das soluções $ y_1 $ e $ y_2 $, que calcula para essas funções:
Passo 6
Agora, substituindo os valores no sistema, temos:
Integrando essas expressões para encontrar $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $:
A integral de $ u_2(x) $ pode ser resolvida por partes, mas para simplificar o processo, vamos considerar que após a integração obtemos:
Passo 7
Então, substituindo $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ na expressão de $ y_p $:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, somamos a solução particular $ y_p $ com a solução geral da homogênea:
Então, juntando tudo:
Podemos simplificar os termos semelhantes para ficar mais limpinho.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.