Problema 3.24. Mostre que dados três números a, a+2 e a+4, um e apenas um deles é múltiplo de 3 . Usando este fato, mostre que a única terna de primos trigêmeos é (3,5,7).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, provar que em três inteiros consecutivos de diferença 2, a saber a, a+2 e a+4, exatamente um é múltiplo de 3; em seguida, usar esse fato para concluir que a única terna de primos da forma (p,p+2,p+4) é (3,5,7). Vamos usar aritmética modular e a caracterização dos primos múltiplos de 3.

Passo 2

Para ver quantos desses três números são divisíveis por 3, basta olhar seus restos módulo 3. Seja
aequiv rpmod3, rin0,1,2
Então:
  • Se r=0, temos aequiv0, a+2equiv2 e a+4equiv1pmod3.
  • Se r=1, temos aequiv1, a+2equiv0 e a+4equiv2pmod3.
  • Se r=2, temos aequiv2, a+2equiv1 e a+4equiv0pmod3.
Em cada um dos três casos exatamente um dos termos é congruente a 0 módulo 3, ou seja, um e só um deles é múltiplo de 3.

Passo 3

Agora suponha que p, p+2 e p+4 sejam todos primos. Pelo passo 2, um e apenas um desses três números é múltiplo de 3. Como o único primo divisível por 3 é o próprio 3, concluímos que um deles deve ser 3. Há três subcasos:
  1. Se p=3, então a terna é (3,5,7), e de fato 5 e 7 são primos.
  2. Se p+2=3, então p=1, mas 1 não é primo — contradição.
  3. Se p+4=3, então p=-1, que também não é primo — contradição.
Logo o único caso possível é p=3, produzindo a terna (3,5,7).

Resposta

A única terna de primos trigêmeos é (3,5,7).

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