Problema 3.24. Mostre que dados três números
e
, um e apenas um deles é múltiplo de 3 . Usando este fato, mostre que a única terna de primos trigêmeos é
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, provar que em três inteiros consecutivos de diferença 2, a saber
,
e
, exatamente um é múltiplo de 3; em seguida, usar esse fato para concluir que a única terna de primos da forma
é
. Vamos usar aritmética modular e a caracterização dos primos múltiplos de 3.
Passo 2
Para ver quantos desses três números são divisíveis por 3, basta olhar seus restos módulo 3. Seja
Então:
- Se
, temos , e . - Se
, temos , e . - Se
, temos , e .
Em cada um dos três casos exatamente um dos termos é congruente a 0 módulo 3, ou seja, um e só um deles é múltiplo de 3.
Passo 3
Agora suponha que
,
e
sejam todos primos. Pelo passo 2, um e apenas um desses três números é múltiplo de 3. Como o único primo divisível por 3 é o próprio 3, concluímos que um deles deve ser 3. Há três subcasos:
- Se
, então a terna é , e de fato e são primos. - Se
, então , mas não é primo — contradição. - Se
, então , que também não é primo — contradição.
Logo o único caso possível é
, produzindo a terna
.
Resposta
A única terna de primos trigêmeos é
.