Calcule.
lim x +infty(1+2x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+inftyl(1+tfrac2xr)^x. Esse é um caso clássico de limite que leva à função exponencial e usamos a propriedade do logaritmo para resolver.

Passo 2

Definimos y=l(1+tfrac2xr)^x. Para lidar com a potência, calculamos o logaritmo natural: ln y = xlnl(1+tfrac2xr). Assim transformamos o limite original em limln y, mais fácil de avaliar.

Passo 3

Reescrevemos ln y como um quociente para usar a regra de L’Hôpital:

Passo 4

ln y = xlnl(1+2xr) = lnl(1+tfrac2xr)1/x

Passo 5

Observe que ao levar xto+infty, tanto o numerador ln(1+2/x)to0 quanto o denominador 1/xto0, caracterizando 0/0. Aplicamos L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x:

Passo 6

numerador' = ddxlnl(1+2xr) = 11+2/xcdotl(-tfrac2x^2r),

Passo 7

denominador' = ddxl(1xr) = -1x^2

Passo 8

Portanto,

Passo 9

limxto+inftyln y = limxto+infty-tfrac2x^2(1+2/x)-tfrac1x^2 = limxto+infty21+2/x = 2

Passo 10

Como ln yto2, concluímos que y=l(1+tfrac2xr)^xto e^2, por continuidade da exponencial.

Resposta

e^2

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