/2,5 2. Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva esse PVI.
(b) Por que esse PVI admite uma única solução?
(c) Determine as coordenadas do ponto máximo da solução.
(b) Por que esse PVI admite uma única solução?
(c) Determine as coordenadas do ponto máximo da solução.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos (i) encontrar a solução geral pela equação característica, (ii) ajustar as constantes pelas condições iniciais, (iii) justificar a unicidade da solução e (iv) achar o ponto em que a solução atinge seu máximo.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada a
como
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
ou seja, temos raiz dupla
. Portanto a solução geral é
Passo 3
Agora impomos as condições iniciais.
Para temos
Para
Para
, primeiro calculamos
Em
isso dá
Logo a solução particular é
Passo 4
Esse PVI admite solução única porque se trata de uma equação linear de coeficientes contínuos em todo
. Pelo teorema de existência e unicidade para ODEs lineares, dado
com
contínuas, a solução que satisfaz condições iniciais
e
é única.
Passo 5
Para achar o ponto máximo, buscamos
. Usando a expressão já obtida em Passo 3 com
, temos
A parte exponencial nunca zera, então
O valor correspondente é
Como
, esse ponto é de máximo.
Resposta
(a)
(b) Porque é uma equação linear de coeficientes contínuos, e pelo teorema de existência e unicidade para ODEs lineares a solução com as condições iniciais dadas é única.
(c) O ponto máximo ocorre em
(b) Porque é uma equação linear de coeficientes contínuos, e pelo teorema de existência e unicidade para ODEs lineares a solução com as condições iniciais dadas é única.
(c) O ponto máximo ocorre em