/2,5 2. Considere o problema de valor inicial
l 4 y^prime prime+4 y^prime+y=0 y(0)=1, y^prime(0)=2
(a) Resolva esse PVI.
(b) Por que esse PVI admite uma única solução?
(c) Determine as coordenadas do ponto máximo da solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
4,y''+4,y'+y=0, y(0)=1,;y'(0)=2,
que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos (i) encontrar a solução geral pela equação característica, (ii) ajustar as constantes pelas condições iniciais, (iii) justificar a unicidade da solução e (iv) achar o ponto em que a solução atinge seu máximo.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
4,y''+4,y'+y=0
como
4r^2+4r+1=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
r=-4pmraiz4^2-4cdot4cdot12cdot4 =-4pm08 =-12,
ou seja, temos raiz dupla r=-tfrac12. Portanto a solução geral é
y(x)=l(C1+C2,xr)e^-x/2

Passo 3

Agora impomos as condições iniciais.
Para y(0)=1 temos
y(0)=l(C1+C2cdot0r)e^0=C1=1
Para y'(0)=2, primeiro calculamos
y'(x) =ddxl[(1+C2x)e^-x/2r] =l(C2-tfrac12(1+C2x)r)e^-x/2 =l(C2-tfrac12 -tfrac12C2xr)e^-x/2
Em x=0 isso dá
y'(0)=l(C2-tfrac12r)=2 Longrightarrow C2=2+tfrac12=tfrac52
Logo a solução particular é
boxedy(x)=l(1+tfrac52xr)e^-x/2

Passo 4

Esse PVI admite solução única porque se trata de uma equação linear de coeficientes contínuos em todo R. Pelo teorema de existência e unicidade para ODEs lineares, dado y''+p(x)y'+q(x)y=0 com p,q contínuas, a solução que satisfaz condições iniciais y(0) e y'(0) é única.

Passo 5

Para achar o ponto máximo, buscamos y'(x)=0. Usando a expressão já obtida em Passo 3 com C2=tfrac52, temos
y'(x)=l(2-tfrac54xr)e^-x/2
A parte exponencial nunca zera, então
2-tfrac54x=0 Longrightarrow xmax=2cdot45=85
O valor correspondente é
yl(tfrac85r) =l(1+tfrac52cdottfrac85r) e^-tfrac85cdot12 =(1+4)e^-4/5 =5,e^-4/5
Como y''(xmax)<0, esse ponto é de máximo.

Resposta

(a) y(x)=l(1+tfrac52xr)e^-x/2
(b) Porque é uma equação linear de coeficientes contínuos, e pelo teorema de existência e unicidade para ODEs lineares a solução com as condições iniciais dadas é única.
(c) O ponto máximo ocorre em
l(xmax,ymaxr) =l(tfrac85,,5,e^-4/5r)

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