Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x -2 x^3-5 x-2x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular e justificar a existência de
limxto -2 x^3 - 5x - 2x + 2
O conteúdo é limite de função que leva à forma indeterminada tfrac00, e vamos usar a fatoração de polinômios para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em tfracx^3 - 5x - 2x + 2:
o numerador em x=-2 é
(-2)^3 - 5(-2) - 2 = -8 + 10 - 2 = 0,
e o denominador é
-2 + 2 = 0
Logo obtemos a forma indeterminada tfrac00, o que exige uma técnica para simplificar a expressão.

Passo 3

Fatoramos o numerador dividindo o polinômio x^3 - 5x - 2 por (x+2). Pelo método de divisão ou Ruffini, achamos:
x^3 - 5x - 2 = (x + 2),(x^2 - 2x - 1)
Assim,
x^3 - 5x - 2x + 2 = x^2 - 2x - 1, xneq -2

Passo 4

Como a simplificação removeu a indeterminação, o limite passa a ser
limxto -2(x^2 - 2x - 1) = (-2)^2 - 2(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7
Portanto o limite existe.

Resposta

O limite existe e vale 7.

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