Calcule
lim x +infty(x+2x+1)^x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftyl(x+2x+1r)^x
O conteúdo aqui é limite de expressão exponencial do tipo (1+1/u)^u. Para resolver, vamos reescrever a base em forma de 1+tfrac1algo e usar o fato de que
limutoinftyl(1+1ur)^u=e

Passo 2

Reescrevendo a fração em forma 1+dots:
x+2x+1 =1+(x+2)-(x+1)x+1 =1+1x+1
Logo o limite original fica
L=limxto+inftyl(1+1x+1r)^x

Passo 3

Para aplicar o limite padrão, note que
l(1+1x+1r)^x =l[l(1+1x+1r)^x+1r]^xx+1
Sabemos que
limttoinftyl(1+1tr)^t=e e limxtoinftyxx+1=1
Logo
L =limxtoinftyl(1+tfrac1x+1r)^x =l(er)^1 =e

Resposta

e

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