Calcule lim x infty(1+5x)^x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyl(1+5xr)^x. O conteúdo da matéria é limite do tipo exponencial, e vamos precisar usar a definição de e ou então o desenvolvimento em série da função logaritmo para lidar com o expoente variável.

Passo 2

Vamos chamar L=limxtoinftyl(1+tfrac5xr)^x e assumir que L>0. Tomando o logaritmo de ambos os lados, obtemos
ln L = limxtoinfty xlnl(1+5xr)
Usamos o fato de que, quando uto0, ln(1+u)=u+o(u). Aqui u=5/xto0, então
lnl(1+5xr)=5x+ol(1xr)
Substituindo,
ln L=limxtoinfty xl(5x+ol(tfrac1xr)r)=limxtoinftyl(5 + x,ol(tfrac1xr)r)=5
Logo ln L=5, o que implica L=e^5.

Resposta

e^5

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