Calcule os limites abaixo:
lim x 1^- x^3-1x^2-2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite de x^3-1x^2-2x+1 quando x se aproxima de 1 pela esquerda. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, e para resolver vamos precisar usar fatoração de expressões algébricas e entender o comportamento das funções próximas a pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente para ver se conseguimos simplificar a expressão.
O numerador é x^3 - 1. Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
Já o denominador é x^2 - 2x + 1, que é um trinômio quadrado perfeito. Podemos fatorar assim:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Passo 3

Agora, substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^3-1x^2-2x+1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)^2 = x^2 + x + 1x - 1
Perceba que o termo (x - 1) cancela com um dos (x - 1) do denominador:
x^2 + x + 1x - 1
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando x se aproxima de 1 pela esquerda (ou seja, valores de x bem próximos de 1, mas menores que 1).
  • Numerador: Quando x está perto de 1, x^2 + x + 1 fica próximo de 1 + 1 + 1 = 3, que é um número positivo.
  • Denominador: x - 1 quando x está abaixo de 1, será um número negativo muito pequeno (pensa em -0,0001, por exemplo).
Então, estamos dividindo um número positivo (próximo de 3) por um número negativo que está se aproximando de zero. Quando dividimos um número positivo por um número negativo muito pequeno, o resultado fica muito negativo, tendendo para menos infinito.

Resposta

-infty

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