Determine os extremos relativos de f, se existirem.
f(x, y)=x^2-4 x y+y^3+4 y

Passo 1

O enunciado pede os extremos relativos da função
f(x,y)=x^2-4xy+y^3+4y
O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos em funções de duas variáveis: vamos calcular as derivadas parciais, achar onde o gradiente se anula e depois usar o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e impomos igual a zero:
fx = partial fpartial x = 2x - 4y, fy = partial fpartial y = -4x + 3y^2 + 4
Da condição fx=0 vem
2x - 4y = 0 implies x = 2y

Passo 3

Substituindo x=2y em fy=0:
-4(2y) + 3y^2 + 4 = 0 ;Longrightarrow; 3y^2 - 8y + 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau:
De<a = (-8)^2 - 4cdot3cdot4 = 64 - 48 = 16,
y = 8 pm 46 implies y1 = 2, y2 = tfrac23
Logo os pontos críticos são
( x,y ) = (2y,y) ;Longrightarrow; (4,2) e l(tfrac43,tfrac23r)

Passo 4

Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
fxx = 2, fxy = -4, fyy = 6y
O discriminante da Hessiana é
D(x,y) = fxx,fyy - (fxy)^2 = 2cdot(6y) - (-4)^2 = 12y - 16

Passo 5

No ponto (4,2):
fxx=2>0, D(4,2)=12cdot2 -16 = 24 -16 = 8 >0
Como D>0 e fxx>0, (4,2) é um mínimo local.

Passo 6

No ponto l(tfrac43,tfrac23r):
fxx=2, Dl(tfrac43,tfrac23r)=12cdottfrac23 -16 = 8 -16 = -8 <0
Como D<0, esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Mínimo local em (4,2).
Ponto de sela em l(tfrac43,tfrac23r).

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