Determine os extremos relativos de
, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede os extremos relativos da função
O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos em funções de duas variáveis: vamos calcular as derivadas parciais, achar onde o gradiente se anula e depois usar o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e impomos igual a zero:
Da condição
vem
Passo 3
Substituindo
em
:
Resolvendo a equação do segundo grau:
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante da Hessiana é
Passo 5
No ponto
:
Como
e
,
é um mínimo local.
Passo 6
No ponto
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Mínimo local em
.
Ponto de sela em .
Ponto de sela em