Represente os números complexos
  • (1-i)(1+2 i)(2+i)(4-2 i)
  • (1+2 i)(2-2 i)1+i
    na forma a+b i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A questão pede para representarmos duas frações de números complexos na forma a + b,i. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar e dividir números complexos, e também como simplificar expressões que envolvem i, onde i é a unidade imaginária com a propriedade i^2 = -1.

Passo 2

Vamos começar com a primeira fração:
(1 - i)(1 + 2i)(2 + i)(4 - 2i)
Primeiro, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores separadamente.

Passo 3

Multiplicando o numerador:
(1 - i)(1 + 2i) = 1 cdot 1 + 1 cdot 2i - i cdot 1 - i cdot 2i = 1 + 2i - i - 2i^2
Lembrando que i^2 = -1, substituímos:
1 + 2i - i - 2(-1) = 1 + i + 2 = 3 + i

Passo 4

Multiplicando o denominador:
(2 + i)(4 - 2i) = 2 cdot 4 + 2 cdot (-2i) + i cdot 4 + i cdot (-2i) = 8 - 4i + 4i - 2i^2
Substituindo i^2 = -1:
8 - 4i + 4i - 2(-1) = 8 + 2 = 10

Passo 5

Agora, substituímos os resultados no numerador e denominador:
3 + i10 = 310 + 110i
Então, a primeira fração na forma a + b,i é:
310 + 110,i

Passo 6

Vamos resolver a segunda fração:
(1 + 2i)(2 - 2i)1 + i
Primeiro, multiplicamos o numerador.

Passo 7

Multiplicando o numerador:
(1 + 2i)(2 - 2i) = 1 cdot 2 + 1 cdot (-2i) + 2i cdot 2 + 2i cdot (-2i) = 2 - 2i + 4i - 4i^2
Substituindo i^2 = -1:
2 - 2i + 4i - 4(-1) = 2 + 2i + 4 = 6 + 2i

Passo 8

Agora, temos:
6 + 2i1 + i
Para dividir por um número complexo, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1 + i é 1 - i.

Passo 9

Multiplicando numerador e denominador por 1 - i:
6 + 2i1 + i cdot 1 - i1 - i = (6 + 2i)(1 - i)(1 + i)(1 - i)

Passo 10

Calculando o numerador:
(6 + 2i)(1 - i) = 6 cdot 1 + 6 cdot (-i) + 2i cdot 1 + 2i cdot (-i) = 6 - 6i + 2i - 2i^2
Substituindo i^2 = -1:
6 - 6i + 2i - 2(-1) = 6 - 4i + 2 = 8 - 4i
Calculando o denominador:
(1 + i)(1 - i) = 1 cdot 1 + 1 cdot (-i) + i cdot 1 + i cdot (-i) = 1 - i + i - i^2
Substituindo i^2 = -1:
1 - i + i - (-1) = 1 + 1 = 2

Passo 11

Portanto, temos:
8 - 4i2 = 82 - 4i2 = 4 - 2i

Resposta

Os números complexos representados na forma a + b,i são:
(1 - i)(1 + 2i)(2 + i)(4 - 2i) = 310 + 110,i
(1 + 2i)(2 - 2i)1 + i = 4 - 2,i

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