Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar que a função dada por
f(z)=cos thetar+i sen thetar
onde z=r e^i theta com r>0 e-pi<theta <= pi, não é derivável em ponto algum.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são ferramentas importantes na análise de funções complexas. A ideia é verificar se a função dada:
f(z) = cos thetar + i sin thetar
é derivável em algum ponto. Para isso, precisamos entender como aplicar essas equações e checar se elas são satisfeitas em qualquer ponto z = r e^i theta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função f(z) = u(x, y) + i v(x, y), onde u e v são partes reais e imaginárias, as Equações de Cauchy-Riemann são:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Essas equações precisam ser satisfeitas para que a função f(z) seja diferenciável em um ponto.

Passo 3

Vamos reescrever a função f(z) em termos de x e y. Sabemos que z = r e^i theta, onde r = raizx^2 + y^2 e theta = arctan(yx). Então:
u(x, y) = cos thetar e v(x, y) = sin thetar

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de u e v em relação a x e y.
Primeiro, calculamos partial upartial x:
partial upartial x = partialpartial x ( cos thetar )
Para isso, usamos a regra da cadeia:
partial upartial x = -sin thetar cdot partial thetapartial x - cos thetar^2 cdot partial rpartial x
Sabemos que:
partial thetapartial x = -yr^2 e partial rpartial x = xr
Então:
partial upartial x = -sin thetar cdot ( -yr^2 ) - cos thetar^2 cdot xr = y sin thetar^3 - x cos thetar^3
Simplificando:
partial upartial x = y sin theta - x cos thetar^3

Passo 5

Agora, vamos calcular partial vpartial y:
partial vpartial y = partialpartial y ( sin thetar )
Aplicando a regra da cadeia:
partial vpartial y = cos thetar cdot partial thetapartial y - sin thetar^2 cdot partial rpartial y
Sabemos que:
partial thetapartial y = xr^2 e partial rpartial y = yr
Então:
partial vpartial y = cos thetar cdot xr^2 - sin thetar^2 cdot yr = x cos thetar^3 - y sin thetar^3
Simplificando:
partial vpartial y = x cos theta - y sin thetar^3

Passo 6

Agora, comparamos partial upartial x e partial vpartial y:
partial upartial x = y sin theta - x cos thetar^3 e partial vpartial y = x cos theta - y sin thetar^3
Percebemos que:
partial upartial x = -partial vpartial y
Para as Equações de Cauchy-Riemann serem satisfeitas, a primeira condição precisa ser partial upartial x = partial vpartial y. Aqui, vemos que elas são opostas, ou seja, só seriam iguais se partial upartial x = partial vpartial y = 0.

Passo 7

Vamos verificar se partial upartial x = 0 e partial vpartial y = 0.
Temos:
partial upartial x = y sin theta - x cos thetar^3 = 0 Rightarrow y sin theta - x cos theta = 0
E:
partial vpartial y = x cos theta - y sin thetar^3 = 0 Rightarrow x cos theta - y sin theta = 0
Isso levaria a:
y sin theta = x cos theta e x cos theta = y sin theta
Ou seja, y sin theta = y sin theta, que é sempre verdadeiro, mas não nos dá nenhuma informação adicional para satisfazer ambas as equações simultaneamente de forma não trivial.

Passo 8

Agora, vamos verificar a segunda Equação de Cauchy-Riemann: partial upartial y = -partial vpartial x.
Primeiro, calculamos partial upartial y:
partial upartial y = partialpartial y ( cos thetar ) = -sin thetar cdot partial thetapartial y - cos thetar^2 cdot partial rpartial y
Substituindo:
partial upartial y = -sin thetar cdot xr^2 - cos thetar^2 cdot yr = -x sin thetar^3 - y cos thetar^3
Simplificando:
partial upartial y = -x sin theta - y cos thetar^3
Agora, calculamos partial vpartial x:
partial vpartial x = partialpartial x ( sin thetar ) = cos thetar cdot partial thetapartial x - sin thetar^2 cdot partial rpartial x
Substituindo:
partial vpartial x = cos thetar cdot ( -yr^2 ) - sin thetar^2 cdot xr = - y cos thetar^3 - x sin thetar^3
Simplificando:
partial vpartial x = - y cos theta - x sin thetar^3
Portanto:
partial upartial y = -x sin theta - y cos thetar^3 = -partial vpartial x

Passo 9

Embora a segunda Equação de Cauchy-Riemann seja satisfeita, a primeira não é, a menos que x = y = 0. Porém, r > 0 no domínio da função, ou seja, z neq 0. Portanto, não existe nenhum ponto onde ambas as Equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas simultaneamente.

Resposta

Assim, concluímos que a função f(z) não é derivável em nenhum ponto do seu domínio.

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