Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar que a função dada por
onde
, não é derivável em ponto algum.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar as Equações de Cauchy-Riemann, que são ferramentas importantes na análise de funções complexas. A ideia é verificar se a função dada:
é derivável em algum ponto. Para isso, precisamos entender como aplicar essas equações e checar se elas são satisfeitas em qualquer ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função
, onde
e
são partes reais e imaginárias, as Equações de Cauchy-Riemann são:
Essas equações precisam ser satisfeitas para que a função
seja diferenciável em um ponto.
Passo 3
Vamos reescrever a função
em termos de
e
. Sabemos que
, onde
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Primeiro, calculamos
:
Para isso, usamos a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Aplicando a regra da cadeia:
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, comparamos
e
:
Percebemos que:
Para as Equações de Cauchy-Riemann serem satisfeitas, a primeira condição precisa ser
. Aqui, vemos que elas são opostas, ou seja, só seriam iguais se
.
Passo 7
Vamos verificar se
e
.
Temos:
E:
Isso levaria a:
Ou seja,
, que é sempre verdadeiro, mas não nos dá nenhuma informação adicional para satisfazer ambas as equações simultaneamente de forma não trivial.
Passo 8
Agora, vamos verificar a segunda Equação de Cauchy-Riemann:
.
Primeiro, calculamos
:
Substituindo:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Substituindo:
Simplificando:
Portanto:
Passo 9
Embora a segunda Equação de Cauchy-Riemann seja satisfeita, a primeira não é, a menos que
. Porém,
no domínio da função, ou seja,
. Portanto, não existe nenhum ponto onde ambas as Equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas simultaneamente.
Resposta
Assim, concluímos que a função
não é derivável em nenhum ponto do seu domínio.