Calcule
lim x infty raiz[3]x^3+2 x+1raizx^2+x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinfty dfracraiz[3]x^3+2x+1raizx^2+x+2. O conteúdo é limite de funções envolvendo raízes de diferentes ordens e vamos precisar usar fatoração das potências dominantes em cada raiz e depois propriedades de limites.

Passo 2

Reescrevemos o numerador extraindo x^3 de dentro da raiz cúbica. Como raiz[3]x^3=x para x>0, temos:
raiz[3]x^3+2x+1=x,raiz[3]1+2xx^3+1x^3=x,raiz[3]1+2x^2+1x^3

Passo 3

Reescrevemos o denominador extraindo x^2 de dentro da raiz quadrada. Como raizx^2=x para x>0, temos:
raizx^2+x+2=x,raiz1+xx^2+2x^2=x,raiz1+1x+2x^2

Passo 4

Substituindo essas expressões no quociente, obtemos:
raiz[3]x^3+2x+1raizx^2+x+2=x,raiz[3]1+2x^2+1x^3x,raiz1+1x+2x^2=raiz[3]1+2x^2+1x^3raiz1+1x+2x^2

Passo 5

À medida que xtoinfty, os termos tfrac2x^2,tfrac1x^3,tfrac1x,tfrac2x^2 tendem a zero. Logo, pela continuidade das funções potência e raiz:
raiz[3]1+tfrac2x^2+tfrac1x^3to1, raiz1+tfrac1x+tfrac2x^2to1
Portanto o quociente tende a 1/1=1.

Resposta

1

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