Calcule lim x infty(3 x^2+2 x+43 x^2+x-4)^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty(3x^2+2x+43x^2+x-4)^x. Esse exercício está dentro do conteúdo de limites, especificamente envolvendo funções racionais e exponenciais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro do limite e aplicar algumas propriedades de limites e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do parênteses: 3x^2+2x+43x^2+x-4. Quando x tende ao infinito, os termos de maior grau (nesse caso, x^2) dominam. Então, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos por x^2:
3x^2+2x+43x^2+x-4 = 3 + 2x + 4x^23 + 1x - 4x^2

Passo 3

Agora, observando que quando x tende ao infinito, 1x e 1x^2 tendem a zero. Então, podemos simplificar a expressão:
3 + 0 + 03 + 0 - 0 = 33 = 1
Então, a base da nossa potência está se aproximando de 1.

Passo 4

Temos, então, que o limite fica na forma (1)^infty, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão usando a propriedade a^b = e^b cdot ln(a):
(3x^2+2x+43x^2+x-4)^x = e^x cdot ln(3x^2+2x+43x^2+x-4)

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite do expoente:
limx to infty x cdot ln(3x^2+2x+43x^2+x-4)
Vamos simplificar o logaritmo:
ln(3x^2+2x+43x^2+x-4) = ln(1 + x + 83x^2+x-4)

Passo 6

Para pequenas aproximações, sabemos que ln(1 + y) approx y quando y é próximo de zero. Assim:
ln(1 + x + 83x^2+x-4) approx x + 83x^2+x-4
Então, o limite agora fica:
limx to infty x cdot x + 83x^2+x-4

Passo 7

Simplificando a expressão:
x cdot x + 83x^2+x-4 = x(x + 8)3x^2+x-4 = x^2 + 8x3x^2 + x - 4
Dividindo numerador e denominador por x^2:
1 + 8x3 + 1x - 4x^2
Quando x tende ao infinito, 8x, 1x e 4x^2 tendem a zero:
1 + 03 + 0 - 0 = 13

Passo 8

Então, o limite do expoente é 13. Voltando à expressão original:
lim x infty(3x^2+2x+43x^2+x-4)^x = e^13

Resposta

O limite é e^13.

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