Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está dentro do conteúdo de limites, especificamente envolvendo funções racionais e exponenciais. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão dentro do limite e aplicar algumas propriedades de limites e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do parênteses:
. Quando
tende ao infinito, os termos de maior grau (nesse caso,
) dominam. Então, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos por
:
Passo 3
Agora, observando que quando
tende ao infinito,
e
tendem a zero. Então, podemos simplificar a expressão:
Então, a base da nossa potência está se aproximando de 1.
Passo 4
Temos, então, que o limite fica na forma
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão usando a propriedade
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite do expoente:
Vamos simplificar o logaritmo:
Passo 6
Para pequenas aproximações, sabemos que
quando
é próximo de zero. Assim:
Então, o limite agora fica:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Dividindo numerador e denominador por
:
Quando
tende ao infinito,
,
e
tendem a zero:
Passo 8
Então, o limite do expoente é
. Voltando à expressão original:
Resposta
O limite é
.