Mostre que
é convergente
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o integral impróprio
é convergente. O ponto de potencial divergência é
. Vamos usar o teste de comparação e o fato de que a função é contínua em qualquer intervalo
com
.
Passo 2
Definimos o integral impróprio como
Para estudar a convergência de
, separamos a análise em duas partes: próximo de zero e longe de zero.
Passo 3
Para
em
temos
pois
. Então
Como se sabe que
pelo teste de comparação o trecho
é finito para qualquer
.
Passo 4
Em
com
, a função
é contínua e, portanto, integrável. Assim
é finito.
Passo 5
Juntando as duas partes, o limite
existe e é finito. Logo, o integral impróprio convergente.
Resposta
O integral
é convergente.