Mostre que integral0^1 1raizx+2 x^3 d x é convergente

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o integral impróprio
integral0^11raizx+2x^3,dx
é convergente. O ponto de potencial divergência é x=0. Vamos usar o teste de comparação e o fato de que a função é contínua em qualquer intervalo [de<a,1] com de<a>0.

Passo 2

Definimos o integral impróprio como
I = limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^11raizx+2x^3,dx
Para estudar a convergência de I, separamos a análise em duas partes: próximo de zero e longe de zero.

Passo 3

Para x em (0,1] temos
x + 2x^3 >= x,
pois 2x^3>=0. Então
1raizx+2x^3<=1raizx
Como se sabe que
integral0^1x^-12,dx = [2x^12]0^1 = 2 < infty,
pelo teste de comparação o trecho
limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^de<a1raizx+2x^3,dx
é finito para qualquer de<ain(0,1].

Passo 4

Em [de<a,1] com de<a>0, a função xmapsto1/raizx+2x^3 é contínua e, portanto, integrável. Assim
integralde<a^11raizx+2x^3,dx
é finito.

Passo 5

Juntando as duas partes, o limite
limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^11raizx+2x^3,dx
existe e é finito. Logo, o integral impróprio convergente.

Resposta

O integral
integral0^11raizx+2x^3,dx
é convergente.

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