Determine uma parametrização para a superfície abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=4, acima do plano z=1;

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que fica acima do plano z=1. Vamos usar coordenadas esféricas para descrever essa superfície.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e, como estamos na esfera de raio 2, definimos rho=2.

Passo 3

A condição de estar acima do plano z=1 exige
z=2cosphi>=1Longrightarrowcosphi>=tfrac12Longrightarrowphiin[0,arccos(1/2)]=[0,pi/3]

Passo 4

O ângulo azimutal theta percorre toda a circunferência, ou seja, thetain[0,2pi].

Resposta

r(phi,theta)=(2sinphicostheta,;2sinphisintheta,;2cosphi), com phiin[0,pi/3] e thetain[0,2pi].

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