Mostre que integral1^infty 1+2 e^-xx d x é divergente

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral imprópria integral1^infty1+2e^-xx,dx é divergente. O conteúdo central aqui é teste de comparação para integrais impróprias e o fato clássico de que integral1^infty1x,dx diverge (caso p=1 na integral de Riemann).

Passo 2

Observamos que, para todo x>=1, temos e^-x>0. Logo
1+2e^-xx=1x+2e^-xx>=1x

Passo 3

Como integral1^infty1x,dx diverge e nossa função integrando é maior ou igual a 1/x para x>=1, concluímos pela comparação que
integral1^infty1+2e^-xx,dx
também diverge.

Resposta

A integral diverge.

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