Calcule:
lim x -infty x^3+x^6+x2 x^3+x+1=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão x . Esse tipo de problema faz parte do estudo de limites de funções racionais, onde a gente olha o comportamento das frações de polinômios quando $ x $ vai para valores muito grandes ou muito pequenos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador e entender como eles influenciam o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos $ x^{6} $, $ x^{3} $ e $ x $. O termo de maior grau é $ x^{6} $ porque 6 é maior que 3 e 1. No denominador, temos $ 2x^{3} $, $ x $ e $ 1 $. Aqui, o termo de maior grau é $ 2x^{3} $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar uma coisa importante: quando $ x $ tende a infinito (positivo ou negativo), os termos de maior grau dominam o comportamento da função. Isso significa que, para valores muito grandes ou muito pequenos de $ x $, os outros termos se tornam quase insignificantes comparados ao termo de maior grau.

Passo 4

Com isso, podemos simplificar a nossa expressão focando apenas nos termos de maior grau:
x^62x^3
Isso simplifica para:
x^62x^3 = 12x^3

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de $ \frac{1}{2}x^{3} $ quando $ x $ tende a menos infinito. Sabemos que $ x^{3} $ é negativo quando $ x $ é negativo e que ele cresce em magnitude sem limites à medida que $ x $ fica cada vez menor (mais negativo). Portanto, $ \frac{1}{2}x^{3} $ vai tender a menos infinito.

Resposta

lim x -infty x^3 + x^6 + x2x^3 + x + 1 = -infty

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