Encontre o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=3 x-1x^2+x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função f(x) = 3x - 1x^2 + x - 2 . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre domínios de funções racionais e saber como analisar gráficos dessas funções, identificando assíntotas e pontos importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x que a função pode assumir sem causar problemas, como divisões por zero.

Passo 3

Como temos uma função racional (isso mesmo, uma fração com polinômios no numerador e denominador), o problema acontece quando o denominador é igual a zero, porque dividir por zero não existe. Então, vamos descobrir quando o denominador é zero.

Passo 4

Vamos igualar o denominador a zero e resolver para x :
x^2 + x - 2 = 0
Essa é uma equação quadrática. Podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar.

Passo 5

Fatorando a equação quadrática:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Então, as soluções são x = -2 e x = 1 .

Passo 6

Isso significa que o denominador é zero em x = -2 e x = 1 . Portanto, a função não está definida nesses pontos. Assim, o domínio da função é todos os números reais exceto x = -2 e x = 1 .

Passo 7

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, precisamos identificar algumas coisas importantes:
  • Assíntotas verticais: linhas onde a função “bate” sem tocar, que aparecem nos valores que tornei o denominador zero.
  • Assíntota horizontal: linha que a função se aproxima quando x vai para positivo ou negativo infinito.
  • Interseções com os eixos: onde a função cruza os eixos x e y .

Passo 8

As assíntotas verticais estão nos valores que deixaram o denominador zero:
x = -2 e x = 1

Passo 9

Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando x vai para pm infty . Aqui, o grau do denominador ( x^2 ) é maior que o do numerador ( 3x ), o que significa que a função vai se aproximar de zero. Então, a assíntota horizontal é:
y = 0

Passo 10

Vamos achar onde a função cruza os eixos. Primeiro, a interseção com o eixo y ocorre quando x = 0 :
f(0) = 3(0) - 10^2 + 0 - 2 = -1-2 = 12
Então, a função cruza o eixo y no ponto (0, 12) .

Passo 11

Para encontrar a interseção com o eixo x , igualamos f(x) a zero:
3x - 1x^2 + x - 2 = 0
Isso acontece quando o numerador é zero:
3x - 1 = 0 Rightarrow x = 13
Então, a função cruza o eixo x no ponto (13, 0) .

Passo 12

Com todas essas informações, já temos o essencial para esboçar o gráfico:
  • Assíntotas verticais em x = -2 e x = 1 .
  • Assíntota horizontal em y = 0 .
  • Interseção com o eixo y em (0, 12) .
  • Interseção com o eixo x em (13, 0) .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto x = -2 e x = 1 . O gráfico possui assíntotas verticais em x = -2 e x = 1 , uma assíntota horizontal em y = 0 , intercepta o eixo y em (0, 12) e intercepta o eixo x em (13, 0) .

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