Encontre o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre domínios de funções racionais e saber como analisar gráficos dessas funções, identificando assíntotas e pontos importantes.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir sem causar problemas, como divisões por zero.
Passo 3
Como temos uma função racional (isso mesmo, uma fração com polinômios no numerador e denominador), o problema acontece quando o denominador é igual a zero, porque dividir por zero não existe. Então, vamos descobrir quando o denominador é zero.
Passo 4
Vamos igualar o denominador a zero e resolver para
:
Essa é uma equação quadrática. Podemos resolver fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos tentar fatorar.
Passo 5
Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são
e
.
Passo 6
Isso significa que o denominador é zero em
e
. Portanto, a função não está definida nesses pontos. Assim, o domínio da função é todos os números reais exceto
e
.
Passo 7
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, precisamos identificar algumas coisas importantes:
- Assíntotas verticais: linhas onde a função “bate” sem tocar, que aparecem nos valores que tornei o denominador zero.
- Assíntota horizontal: linha que a função se aproxima quando
vai para positivo ou negativo infinito. - Interseções com os eixos: onde a função cruza os eixos
e .
Passo 8
As assíntotas verticais estão nos valores que deixaram o denominador zero:
Passo 9
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando
vai para
. Aqui, o grau do denominador (
) é maior que o do numerador (
), o que significa que a função vai se aproximar de zero. Então, a assíntota horizontal é:
Passo 10
Vamos achar onde a função cruza os eixos. Primeiro, a interseção com o eixo
ocorre quando
:
Então, a função cruza o eixo
no ponto
.
Passo 11
Para encontrar a interseção com o eixo
, igualamos
a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, a função cruza o eixo
no ponto
.
Passo 12
Com todas essas informações, já temos o essencial para esboçar o gráfico:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - Interseção com o eixo
em . - Interseção com o eixo
em .
Resposta
O domínio da função é todos os números reais exceto
e
. O gráfico possui assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, intercepta o eixo
em
e intercepta o eixo
em
.