Seja
a(x)=m x+c
a função afim que melhor aproxima a função
f(x)=e7x⋅(27x+54)
em torno de x=0. Qual o valor de m+c ?

Passo 1

O enunciado pede a aproximação afim de f(x)=e^7xl(27x+54r) em torno de x=0.
Isso é exatamente o polinômio de Taylor de ordem 1 em x=0, ou seja
a(x)=f(0)+f'(0),x,
onde c=f(0) e m=f'(0). Nosso objetivo é obter m+c.

Passo 2

Calculando c=f(0):
f(0)=e^7cdot0l(27cdot0+54r)=1cdot54=54
Logo c=54.

Passo 3

Agora achamos f'(x) usando a regra do produto:
f(x)=e^7xcdot(27x+54)
f'(x)=l(e^7xr)'(27x+54)+e^7x,(27x+54)';=;7e^7x(27x+54)+27e^7x
Agrupando,
f'(x)=e^7xl(7cdot27x+7cdot54+27r) =e^7xl(189x+378+27r) =e^7x(189x+405)
Em x=0:
f'(0)=e^0(189cdot0+405)=405
Logo m=405.

Passo 4

Finalmente,
m+c=405+54=459

Resposta

459

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