Calcule:
lim x +infty(x-raiz[3]2+3 x^3)

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(x - raiz[3]2+3x^3r)
O conteúdo principal é análise assintótica de raízes de potências altas, e vamos usar fatoração e expansão em série de (1+u)^1/3.

Passo 2

Escrevemos
raiz[3]2+3x^3 =l(3x^3r)^1/3l(1+23x^3r)^1/3 =xcdot 3^1/3l(1+23x^3r)^1/3

Passo 3

Para xto+infty temos u=tfrac23x^3to0 e, pela expansão
(1+u)^1/3=1+u3+o(u),
segue
l(1+23x^3r)^1/3 =1+29x^3+ol(tfrac1x^3r),
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raiz[3]2+3x^3 =x,3^1/3l(1+29x^3+o(x^-3)r) =3^1/3x+2,3^1/39x^2+o(x^-2)

Passo 4

Substituindo na expressão original,
x-raiz[3]2+3x^3 =x-3^1/3x-2,3^1/39x^2+o(x^-2) =xl(1-3^1/3r)+o(x)
Como 1-3^1/3<0, o termo principal cresce em módulo para -infty.

Resposta

-infty

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