Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
.
Passo 1
A série em questão é
. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries alternantes e de convergência absoluta; vamos usar o teste da razão para a parte absoluta e o teste do termo geral (ou de Leibniz) para a condicional.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
Aplicando o teste da razão, calculamos
Como
quando
, o limite da razão é maior que 1 e a série
diverge. Logo, não há convergência absoluta.
Passo 3
Agora, para convergência condicional, precisaríamos que os termos alternados
fossem monotonicamente decrescentes em valor absoluto e fossem ao zero. Mas observe que
o que mostra que
cresce em vez de decrescer. Além disso,
portanto o termo geral não tende a zero e a série não pode convergir por qualquer teste.
Passo 4
Como a série não converge absolutamente nem satisfaz as condições para convergência condicional, concluímos que ela diverge.
Resposta
A série é divergente.