Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n!2^n+1.

Passo 1

A série em questão é sumn=1^infty(-1)^n+1n!2^n+1. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries alternantes e de convergência absoluta; vamos usar o teste da razão para a parte absoluta e o teste do termo geral (ou de Leibniz) para a condicional.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
bn = n!2^n+1
Aplicando o teste da razão, calculamos
bn+1bn = (n+1)!/2^n+2n!/2^n+1 = n+12
Como n+12toinfty quando ntoinfty, o limite da razão é maior que 1 e a série sum bn diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora, para convergência condicional, precisaríamos que os termos alternados an = (-1)^n+1n!2^n+1 fossem monotonicamente decrescentes em valor absoluto e fossem ao zero. Mas observe que
|an+1||an| = n+12>1 (n>=2),
o que mostra que |an| cresce em vez de decrescer. Além disso,
limntoinfty an = limntoinfty (-1)^n+1n!2^n+1 não existe como zero (o módulo cresce), ãó
portanto o termo geral não tende a zero e a série não pode convergir por qualquer teste.

Passo 4

Como a série não converge absolutamente nem satisfaz as condições para convergência condicional, concluímos que ela diverge.

Resposta

A série é divergente.

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