Calcule lim x +infty(x+1x-1)^x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftyl(tfracx+1x-1r)^x
que é da forma indeterminada (1^infty). Para esse tipo de limite, usamos a técnica de levar ao logaritmo e depois reverter pela exponencial.

Passo 2

Chamamos o valor do limite de L:
L = limxto+inftyl(tfracx+1x-1r)^x
Aplicando logaritmo natural,
ln L = limxto+infty x ,lnl(tfracx+1x-1r)

Passo 3

Escrevemos o logaritmo da razão como diferença:
lnl(tfracx+1x-1r) = ln(x+1) - ln(x-1) = lnl(1 + tfrac1xr) - lnl(1 - tfrac1xr)

Passo 4

Para xto+infty usamos a expansão de Taylor em primeira ordem:
lnl(1 + tfrac1xr)approx tfrac1x, lnl(1 - tfrac1xr)approx -tfrac1x
Logo,
lnl(1 + tfrac1xr)-lnl(1 - tfrac1xr)approx tfrac1x-l(-tfrac1xr)=tfrac2x

Passo 5

Multiplicando por x, obtemos
ln L = limxto+infty xcdot tfrac2x = 2

Passo 6

Como ln L = 2, concluímos que
L = e^2

Resposta

e^2

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