Calcule.
lim x +infty(x+2x+1)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(x+2x+1r)^x,
que é uma forma indeterminada do tipo (1+pequeno)^grande. Vamos usar o limite clássico
limntoinftyl(1+1nr)^n=e

Passo 2

Reescrevendo a base:
x+2x+1=1+1x+1
Logo
l(tfracx+2x+1r)^x=l(1+tfrac1x+1r)^x

Passo 3

Para aplicar o limite que gera e, note que
l(1+tfrac1x+1r)^x=l(1+tfrac1x+1r)^x+11+tfrac1x+1
Sabemos que
limxto+inftyl(1+tfrac1x+1r)^x+1=eelimxto+inftyl(1+tfrac1x+1r)=1

Passo 4

Portanto, o quociente tende a
e1=e

Resposta

e

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