Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
Passo 1
O enunciado pede
O conteúdo envolvido é limite no infinito de razão de polinômios e uso da função logaritmo. Para resolver, vamos (1) verificar domínio e sinal da fração para grandes , (2) encontrar o comportamento assintótico de e (3) usar o limite conhecido .
Passo 2
Para suficientemente grande temos , logo o denominador é positivo. O numerador também é positivo para grandes . Assim
e a função logaritmo está bem definida para esses .
Passo 3
Vamos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por :
Quando temos e , de modo que
Portanto
Passo 4
Como o argumento da função ln tende a 0^+ e sabemos que