Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x infty ln (2 x^3+9x^5-12)

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftylnl(2x^3+9x^5-12r)
O conteúdo envolvido é limite no infinito de razão de polinômios e uso da função logaritmo. Para resolver, vamos (1) verificar domínio e sinal da fração para grandes x, (2) encontrar o comportamento assintótico de tfrac2x^3+9x^5-12 e (3) usar o limite conhecido limtto0+ln t=-infty.

Passo 2

Para x suficientemente grande temos x^5>12, logo o denominador x^5-12 é positivo. O numerador 2x^3+9 também é positivo para grandes x. Assim
2x^3+9x^5-12>0
e a função logaritmo está bem definida para esses x.

Passo 3

Vamos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por x^5:
2x^3+9x^5-12 = x^3l(2 + 9/x^3r)x^5l(1 - 12/x^5r) = 2 + 9/x^3x^2,l(1 - 12/x^5r)
Quando xtoinfty temos 9/x^3to0 e 12/x^5to0, de modo que
2 + 9/x^3x^2,(1 - 12/x^5);longrightarrow;2x^2;longrightarrow;0
Portanto
2x^3+9x^5-12;xrightarrow[xtoinfty];0^+

Passo 4

Como o argumento da função ln tende a 0^+ e sabemos que
limtto0+ln(t) = -infty,
concluímos que
limxtoinftylnl(2x^3+9x^5-12r) = -infty

Resposta

-infty

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