Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x infty 2 x^2-5 x-3x^2-2 x-3

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinfty2x^2-5x-3x^2-2x-3
O conteúdo principal é o estudo de limites de funções racionais no infinito. Vamos usar o fato de que, quando o grau do numerador e do denominador é o mesmo, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Identificamos o grau e os coeficientes principais:
– O numerador 2x^2-5x-3 tem grau 2 e coeficiente líder 2.
– O denominador x^2-2x-3 tem grau 2 e coeficiente líder 1.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^2, o maior grau comum:
2x^2-5x-3x^2-2x-3 =2x^2x^2-5xx^2-3x^2x^2x^2-2xx^2-3x^2 =2-5x-3x^21-2x-3x^2

Passo 4

Ao fazermos xtoinfty, os termos tfrac5x, tfrac3x^2, tfrac2x e tfrac3x^2 vão a zero. Logo
limxtoinfty2-5x-3x^21-2x-3x^2 =2-0-01-0-0 =2

Passo 5

Como o limite existe e é finito, concluímos que a função tem assíntota horizontal y=2. Portanto o limite existe e vale 2.

Resposta

2

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