Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
Passo 1
O enunciado pede o valor de
O conteúdo principal aqui é o comportamento de funções exponenciais e como aplicar logaritmo para extrair limites do tipo “
.” Vamos usar que, quando
, a base maior domina, e em seguida usar a transformação com a função
para justificar a existência do limite.
Passo 2
Reescrevemos o termo dentro da potência exponencial, fatorando
(a parte dominante):
Passo 3
Logo,
Passo 4
Para estudar
, aplicamos o logaritmo natural na parte que varia com
. Definindo
temos
Passo 5
Como
quando
, vale
. Logo
e portanto
Isto prova que o limite do logaritmo existe e vale
.
Passo 6
Elevando à exponencial, obtemos
Como passamos por uma transformação contínua (
e depois exp) e chegamos a um número finito, concluímos que o limite existe e é
.