Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
lim x infty(2^x+3^x)^1x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxtoinftyl(2^x+3^xr)^1/x
O conteúdo principal aqui é o comportamento de funções exponenciais e como aplicar logaritmo para extrair limites do tipo “ f(x)^1/x.” Vamos usar que, quando xtoinfty, a base maior domina, e em seguida usar a transformação com a função ln para justificar a existência do limite.

Passo 2

Reescrevemos o termo dentro da potência exponencial, fatorando 3^x (a parte dominante):
2^x+3^x = 3^xl(1 + (2/3)^xr)

Passo 3

Logo,
l(2^x+3^xr)^1/x = l[3^xl(1+(2/3)^xr)r]^1/x = 3;l(1+(2/3)^xr)^1/x

Passo 4

Para estudar limxtoinfty3,(1+(2/3)^x)^1/x, aplicamos o logaritmo natural na parte que varia com x. Definindo
L = limxtoinftyl(2^x+3^xr)^1/x,
temos
ln L = limxtoinftylnl[3,(1+(2/3)^x)^1/xr] = limxtoinftyl[ln3 + tfrac1xlnl(1+(2/3)^xr)r]

Passo 5

Como (2/3)^xto0 quando xtoinfty, vale lnl(1+(2/3)^xr)to0. Logo
limxtoinfty1x,lnl(1+(2/3)^xr) = 0,
e portanto
ln L = ln3 + 0 = ln3
Isto prova que o limite do logaritmo existe e vale ln3.

Passo 6

Elevando à exponencial, obtemos
L = e^ln3 = 3
Como passamos por uma transformação contínua ( ln e depois exp) e chegamos a um número finito, concluímos que o limite existe e é 3.

Resposta

limxtoinftyl(2^x+3^xr)^1/x = 3

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